kaoyan1basic 高等数学 第96题

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📝 题目

### 第96题 设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2+x+y^2$ **解析**： 步骤1：对$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=x+y$关于$y$积分，得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=xy+\frac{1}{2}y^2+\varphi(x)$。 步骤2：再对$x$积分，得$\displaystyle z=\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2+\int\varphi(x)dx+\psi(y)$。 步骤3：利用$f(x,0)=x$，代入得$\int\varphi(x)dx+\psi(0)=x$，故$\int\varphi(x)dx=x+\psi(0)$，即$\varphi(x)=1$。 步骤4：利用$f(0,y)=y^2$，代入得$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot0\cdot y+\frac{1}{2}\cdot0\cdot y^2+\int\varphi(0)dx+\psi(y)=y^2$，即$\psi(y)=y^2$（常数项合并）。 步骤5：代入得$\displaystyle z=\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2+x+y^2$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：对混合偏导方程关于y积分，得到∂z/∂x的表达式
对 ∂²z/∂x∂y = x+y 关于 y 积分，得 ∂z/∂x = xy + (1/2)y² + φ(x)，其中 φ(x) 是任意函数。
公式：∂z/∂x = xy + (1/2)y² + φ(x)
提示：积分时注意将 x 视为常数，并引入关于 x 的任意函数 φ(x)。
步骤 2/5
目标：对∂z/∂x关于x积分，得到z的表达式
对 ∂z/∂x = xy + (1/2)y² + φ(x) 关于 x 积分，得 z = (1/2)x²y + (1/2)xy² + ∫φ(x)dx + ψ(y)，其中 ψ(y) 是任意函数。
公式：z = (1/2)x²y + (1/2)xy² + ∫φ(x)dx + ψ(y)
提示：积分时注意将 y 视为常数，并引入关于 y 的任意函数 ψ(y)。
步骤 3/5
目标：利用边界条件 f(x,0)=x 确定 φ(x)
代入 y=0 到 z 的表达式：f(x,0) = (1/2)x²·0 + (1/2)x·0² + ∫φ(x)dx + ψ(0) = ∫φ(x)dx + ψ(0) = x。因此 ∫φ(x)dx = x - ψ(0)。对 x 求导得 φ(x) = 1。
公式：φ(x) = 1
提示：注意 ψ(0) 是常数，求导后消失。
步骤 4/5
目标：利用边界条件 f(0,y)=y² 确定 ψ(y)
代入 x=0 到 z 的表达式：f(0,y) = (1/2)·0²·y + (1/2)·0·y² + ∫φ(0)dx + ψ(y) = ∫1 dx + ψ(y) = x + ψ(y) 在 x=0 处为 ψ(y) = y²。因此 ψ(y) = y²。
公式：ψ(y) = y²
提示：注意 ∫φ(0)dx = ∫1 dx = x，但在 x=0 时该项为0。
步骤 5/5
目标：代入 φ(x) 和 ψ(y) 得到最终表达式
将 φ(x)=1 和 ψ(y)=y² 代入 z 的表达式，并注意 ∫φ(x)dx = ∫1 dx = x，得 z = (1/2)x²y + (1/2)xy² + x + y²。
公式：f(x,y) = (1/2)x²y + (1/2)xy² + x + y²
提示：检查是否满足所有条件。

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