kaoyan1basic 高等数学 第97题
📝 题目
### 第97题 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ． ## O
纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：由极限条件知$f(0,1)=2\cdot0-1+2=1$，且$f(x,y)$在$(0,1)$处可微，且全微分为$2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。 步骤2：将极限式改写为$\displaystyle \frac{f(x,y)-f(0,1)-2x+(y-1)}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\to0$，故$f_x'(0,1)=2$，$f_y'(0,1)=-1$。 步骤3：因此$\mathrm{d}z|_{(0,1)}=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定函数值 f(0,1)
由极限条件，当 (x,y)→(0,1) 时，分子趋于 0，故 f(0,1) - 0 + 1 - 2 = 0，解得 f(0,1)=1。
提示：极限存在且分母趋于0，则分子也必须趋于0。
步骤 2/4
目标：改写极限形式以利用可微定义
将极限式改写为 lim [f(x,y)-f(0,1) - 2x + (y-1)] / √(x²+(y-1)²) = 0，这符合可微定义，表明 f 在 (0,1) 处可微且全微分为 2dx - dy。
公式：f(x,y)-f(0,1) = 2x - (y-1) + o(√(x²+(y-1)²))
提示：对比可微定义：f(x,y)-f(x0,y0) = AΔx + BΔy + o(ρ)，其中 ρ=√(Δx²+Δy²)。
步骤 3/4
目标：得到偏导数值
由改写后的极限知，A=2, B=-1，即 f_x'(0,1)=2, f_y'(0,1)=-1。
提示：全微分 dz = f_x dx + f_y dy。
步骤 4/4
目标：写出全微分
因此 dz|_{(0,1)} = 2dx - dy。
公式：dz = 2dx - dy
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