kaoyan1basic 高等数学 第98题
📝 题目
### 第98题 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$b\mathrm{d}x+c\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：由极限式，当$(x,y)\to(0,0)$时，$\ln(1+x^2+y^2)\sim x^2+y^2$，故$f(x,y)-a-bx-cy\sim x^2+y^2$。 步骤2：令$x=y=0$得$f(0,0)=a$。 步骤3：由可微定义，$f(x,y)-f(0,0)-b x-c y$是比$\sqrt{x^2+y^2}$高阶的无穷小，故$f_x'(0,0)=b$，$f_y'(0,0)=c$。 步骤4：因此$\mathrm{d}f|_{(0,0)}=b\mathrm{d}x+c\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极限等价无穷小替换，得到f(x,y)的近似表达式
由极限式，当(x,y)→(0,0)时，ln(1+x^2+y^2) ~ x^2+y^2，所以f(x,y)-a-bx-cy ~ x^2+y^2，即f(x,y)=a+bx+cy+o(x^2+y^2)。
公式：ln(1+u) ~ u (u→0)
提示：注意分母是ln(1+x^2+y^2)，当(x,y)→(0,0)时，x^2+y^2→0，因此可用等价无穷小替换。
步骤 2/4
目标：确定f(0,0)的值
令x=0,y=0代入极限式，分母为0，分子必须为0，故f(0,0)-a=0，即f(0,0)=a。
提示：极限存在且分母趋于0，分子必趋于0。
步骤 3/4
目标：利用可微定义，得到偏导数
由f(x,y)=a+bx+cy+o(x^2+y^2)，且f(0,0)=a，则f(x,y)-f(0,0)-bx-cy=o(x^2+y^2)。由于x^2+y^2是比√(x^2+y^2)高阶的无穷小，因此f在(0,0)处可微，且f_x'(0,0)=b，f_y'(0,0)=c。
公式：可微定义：f(x,y)-f(0,0)-f_x'(0,0)x-f_y'(0,0)y=o(√(x^2+y^2))
提示：注意o(x^2+y^2)是比x^2+y^2高阶的无穷小，而x^2+y^2是比√(x^2+y^2)高阶的无穷小，因此满足可微条件。
步骤 4/4
目标：写出全微分
由偏导数得df|_{(0,0)}=f_x'(0,0)dx+f_y'(0,0)dy=b dx+c dy。
公式：df = f_x dx + f_y dy
提示：全微分形式。
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