kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（填空题） 17． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+9 i^{2}}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ **解析**：步骤1：原式$\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+9\left(\frac{i}{n}\right)^2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+9x^2} dx$。 步骤2：$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+9x^2} = \frac{1}{3} \arctan(3x) \big|_{0}^{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限转化为定积分形式
原式 = lim_{n→∞} (1/n) ∑_{i=1}^n 1/(1+9(i/n)^2) = ∫_0^1 1/(1+9x^2) dx
公式：lim_{n→∞} (1/n) ∑_{i=1}^n f(i/n) = ∫_0^1 f(x) dx
提示：注意将 n/(n^2+9i^2) 变形为 (1/n) * 1/(1+9(i/n)^2)
步骤 2/2
目标：计算定积分
∫_0^1 dx/(1+9x^2) = (1/3) arctan(3x) |_0^1 = (1/3)*(π/3) = π/6
公式：∫ dx/(1+a^2 x^2) = (1/a) arctan(ax) + C
提示：注意积分限从0到1，代入后arctan(3)=π/3
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