kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $p$ 的取值范围，使得 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin \frac{\pi}{x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{\ln ^{\beta} x}$ 收敛。
💡 答案解析
**答案**：$\beta > 1$ **解析**：步骤1：当$x \to +\infty$时，$\displaystyle \sin\frac{\pi}{x} \sim \frac{\pi}{x}$，故被积函数$\displaystyle \sim \frac{\pi}{x \ln^{\beta} x}$。 步骤2：$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x \ln^{\beta} x} = \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{du}{u^{\beta}}$，该积分收敛当且仅当$\beta > 1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数在无穷远处的渐近行为
当 x → +∞ 时，sin(π/x) ~ π/x，因此被积函数 sin(π/x) / ln^β x ~ π/(x ln^β x)。
公式：sin(π/x) ~ π/x (x → +∞)
提示：利用等价无穷小替换简化被积函数。
步骤 2/3
目标：将积分转化为标准形式
考虑积分 ∫_{2}^{+∞} dx/(x ln^β x)，令 u = ln x，则 du = dx/x，积分限变为 u: ln2 → +∞，积分化为 ∫_{ln2}^{+∞} du/u^β。
公式：∫ dx/(x ln^β x) = ∫ du/u^β (u = ln x)
提示：注意积分下限从2开始，因为x=1处ln x=0，但瑕点不影响无穷远处的收敛性。
步骤 3/3
目标：判断p-积分的收敛性
∫_{a}^{+∞} du/u^β 收敛当且仅当 β > 1。因此原积分收敛当且仅当 β > 1。
公式：∫_{a}^{+∞} du/u^β 收敛 ⇔ β > 1
提示：p-积分的收敛条件：指数大于1时收敛。
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