kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（选择题） 18．定积分 $\displaystyle I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值满足（）。 （A） $\displaystyle 0 \leqslant I \leqslant \frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \leqslant I \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant I \leqslant 1$ （D） $1 \leqslant I \leqslant 2 \sqrt{2}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：在区间$\displaystyle [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$上，$\sin x$单调递增，$\displaystyle \frac{1}{x}$单调递减，但整体$\displaystyle \frac{\sin x}{x}$单调递减。 步骤2：由积分估值定理，$\displaystyle \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} \cdot (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) \le I \le \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} \cdot (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})$，即$\displaystyle \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \le I \le \frac{\sqrt{2}/2}{\pi/4} \cdot \frac{\pi}{4}$，得$\displaystyle \frac{1}{2} \le I \le \frac{\sqrt{2}}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆