kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{n^{2}}}+\mathrm{e}^{\frac{4 x^{2}}{n^{2}}}+\cdots+\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)$ ，求： （1）$f(x)$ 的表达式； （2）曲线 $y=c^{r^{3}} f(x)$ 的拐点。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle f(x) = \frac{e^{x^2} - 1}{2x}$；（2）拐点为$(0,0)$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{\frac{k^2 x^2}{n^2}} = x \int_{0}^{1} e^{x^2 t^2} dt$。令$u = xt$，则$\displaystyle dt = \frac{du}{x}$，$f(x) = \int_{0}^{x} e^{u^2} du$。注意原题中最后一项为$e^{-x^2}$，应为$\displaystyle e^{\frac{n^2 x^2}{n^2}} = e^{x^2}$，故$f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} dt$。 步骤2：设$y = e^{x^3} f(x) = e^{x^3} \int_{0}^{x} e^{t^2} dt$。求导：$y' = 3x^2 e^{x^3} \int_{0}^{x} e^{t^2} dt + e^{x^3} e^{x^2} = e^{x^3}(3x^2 \int_{0}^{x} e^{t^2} dt + e^{x^2})$。再求导：$y'' = e^{x^3}[6x \int_{0}^{x} e^{t^2} dt + 3x^2 e^{x^2} + 2x e^{x^2}] + 3x^2 e^{x^3}(3x^2 \int_{0}^{x} e^{t^2} dt + e^{x^2})$。在$x=0$处，$y''(0)=0$，且左右邻域$y''$变号，故$(0,0)$为拐点。 **难度**：★★★★☆