kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【基础篇】第20题（选择题） 20．设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+x^{2}} \cos ^{5} x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{2} \sin x+\sin ^{2} x \cos x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{3} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$ ，则有 （ ）． （A）$N
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$M$中被积函数$\displaystyle \frac{x}{1+x^2}\cos^5 x$为奇函数，积分区间对称，故$M=0$。 步骤2：$N$中$x^2\sin x$为奇函数，$\sin^2 x \cos x$为奇函数？$\sin^2 x \cos x$为奇函数（$\sin^2(-x)\cos(-x) = \sin^2 x \cos x$，偶？实际上$\sin^2 x$为偶，$\cos x$为偶，乘积为偶，故$\sin^2 x \cos x$为偶函数，其积分非零。计算：$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos x dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x d(\sin x) = \frac{1}{3}\sin^3 x\big|_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{2}{3}$，故$\displaystyle N=\frac{2}{3}$。 步骤3：$P$中$\sin^3 x$为奇函数，积分得0；$-\cos^4 x$为偶函数，$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} -\cos^4 x dx = -2\int_{0}^{\pi/2} \cos^4 x dx = -2 \cdot \frac{3\pi}{16} = -\frac{3\pi}{8} < 0$，故$P < 0$。因此$P < M < N$。 **难度**：★★★☆☆