kaoyan1basic 高等数学 第19题

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📝 题目

### 【强化篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x)=x^{2},[\varphi(x)]=-x^{2}+2 x+3$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}} \sum_{i=1}^{N} i^{2}(n-i) \cdot \frac{1}{n+\varphi(x)}=$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{12}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{6}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{2}{3}$

💡 答案解析

**答案**：A **解析**：步骤1：由$\varphi(x) \ge 0$且$[\varphi(x)] = -x^2+2x+3$，得$\varphi(x) = -x^2+2x+3$（因为非负且平方等于该式）。 步骤2：原式$\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 (n-i) \cdot \frac{1}{n+\varphi(\frac{i}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 (1-\frac{i}{n}) \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}\varphi(\frac{i}{n})}$。当$n \to \infty$时，$\displaystyle \frac{1}{n}\varphi(\frac{i}{n}) \to 0$，故极限为$\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 (1-x) dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定 φ(x) 的表达式
由 φ(x) ≥ 0 且 [φ(x)] = -x² + 2x + 3，得 φ(x) = -x² + 2x + 3（因为非负且平方等于该式）。
公式：φ(x) = -x² + 2x + 3
提示：注意非负条件，开方取正。
步骤 2/4
目标：将极限表达式变形为黎曼和形式
原式 = lim_{n→∞} (1/n³) Σ_{i=1}^{n} i² (n-i) · 1/(n+φ(i/n)) = lim_{n→∞} (1/n) Σ_{i=1}^{n} (i/n)² (1 - i/n) · 1/(1 + (1/n)φ(i/n))。
公式：Σ i² (n-i) = n³ Σ (i/n)² (1 - i/n) / n
提示：将 i/n 视为 x，n 趋于无穷时，和式趋于积分。
步骤 3/4
目标：处理分母中的 φ 项
当 n → ∞ 时，(1/n)φ(i/n) → 0，因此 1/(1 + (1/n)φ(i/n)) → 1。
公式：lim_{n→∞} (1/n)φ(i/n) = 0
提示：φ(x) 有界，除以 n 趋于 0。
步骤 4/4
目标：转化为定积分并计算
极限 = ∫₀¹ x² (1 - x) dx = ∫₀¹ (x² - x³) dx = [x³/3 - x⁴/4]₀¹ = 1/3 - 1/4 = 1/12。
公式：∫₀¹ x² (1-x) dx = 1/12
提示：注意积分区间为 [0,1]。

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