kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（填空题） 22．设 $F(x)=\int_{0}^{x}(t-[t]) \mathrm{d} t$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $F_{-}^{\prime}(1)-F_{+}^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$F(x) = \int_{0}^{x} (t - [t]) dt$，其中$t-[t]$为周期1的函数，在$[0,1]$上为$t$。 步骤2：$F'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} (x - [x]) = \lim_{x \to 1^-} (x - 0) = 1$，$F'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} (x - [x]) = \lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0$，故$F'_-(1) - F'_+(1) = 1 - 0 = 1$。注意：原题问$F_{-}^{\prime}(1)-F_{+}^{\prime}(1)$，应为$1$。但常见结果中，由于$F(x)$在整数点处不可导，左右导数差为1。然而检查：$F(x)$在$x=1$处左导数为1，右导数为0，差为1。但答案可能为0？实际上，$F(x)$在整数点处连续但不可导，左右导数不相等，差为1。故答案为1。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解被积函数性质
被积函数 f(t)=t-[t] 是周期为1的函数，在区间 [0,1) 上 f(t)=t，在 [1,2) 上 f(t)=t-1，以此类推。
提示：注意 [t] 是取整函数，t-[t] 是小数部分。
步骤 2/4
目标：计算左导数 F'_-(1)
左导数定义为 lim_{x→1^-} (F(x)-F(1))/(x-1)。由于 x<1 时，[x]=0，故 F(x)=∫_0^x t dt = x^2/2。F(1)=∫_0^1 t dt = 1/2。所以 F'_-(1)=lim_{x→1^-} (x^2/2 - 1/2)/(x-1)=lim_{x→1^-} (x+1)/2 = 1。
公式：F'_-(1)=lim_{x→1^-} (x-[x]) = 1
提示：也可直接用导数定义，但注意被积函数在 x=1 处不连续。
步骤 3/4
目标：计算右导数 F'_+(1)
右导数定义为 lim_{x→1^+} (F(x)-F(1))/(x-1)。当 x>1 时，[x]=1，故 F(x)=∫_0^1 t dt + ∫_1^x (t-1) dt = 1/2 + (x-1)^2/2。所以 F'_+(1)=lim_{x→1^+} (1/2 + (x-1)^2/2 - 1/2)/(x-1)=lim_{x→1^+} (x-1)/2 = 0。
公式：F'_+(1)=lim_{x→1^+} (x-[x]) = 0
提示：注意右导数中 [x]=1。
步骤 4/4
目标：计算差值
F'_-(1)-F'_+(1)=1-0=1。
提示：原题答案为1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。