kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【基础篇】第23题（选择题） 23．下列命题中不成立的是（）。 （A）若 $f(x)$ 连续，$x \in[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 必为 $f(x)$ 的原函数 （B）若 $f(x)$ 可积，$x \in[a, b]$ ，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在原函数 （C）若 $f(x)$ 连续，且为奇函数，$x \in[-a, a]$ ，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$ （D）若 $f(x)$ 连续，$T$ 为其周期，则 $\int_{a}^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：对于(A)，若$f(x)$连续，则$\int_a^x f(t) dt$可导且导数为$f(x)$，是原函数，成立。 步骤2：对于(B)，若$f(x)$可积，不一定存在原函数，例如$f(x)$有第一类间断点时，可积但不存在原函数，故不成立。 步骤3：对于(C)，奇函数在对称区间积分为0，成立。 步骤4：对于(D)，周期函数在任何长度为周期的区间上积分相等，成立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A的正确性
若f(x)连续，则变上限积分函数∫_a^x f(t)dt可导，且导数为f(x)，因此是f(x)的一个原函数，故A成立。
公式：d/dx ∫_a^x f(t)dt = f(x)
提示：连续函数必有原函数，变上限积分是其中一个原函数。
步骤 2/4
目标：判断选项B的正确性
f(x)可积（例如黎曼可积）不一定存在原函数。例如f(x)有第一类间断点时，f(x)在[a,b]上可积，但不存在原函数，因为原函数必须连续且导数等于f(x)，而第一类间断点处导数不存在。故B不成立。
提示：可积与存在原函数没有必然联系，原函数存在要求f(x)连续或只有第二类间断点。
步骤 3/4
目标：判断选项C的正确性
若f(x)连续且为奇函数，则∫_{-a}^a f(x)dx = 0，这是奇函数在对称区间积分的性质，成立。
公式：∫_{-a}^a f(x)dx = 0（f为奇函数）
提示：利用奇函数定义和积分区间可加性证明。
步骤 4/4
目标：判断选项D的正确性
若f(x)连续且周期为T，则∫_a^{a+T} f(x)dx = ∫_0^T f(x)dx，即周期函数在任何长度为周期的区间上积分相等，成立。
公式：∫_a^{a+T} f(x)dx = ∫_0^T f(x)dx
提示：通过变量代换或利用周期函数性质证明。
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