kaoyan1basic 高等数学 第24题

**答案**：D **解析**：步骤1：由$\displaystyle f(x-5) = \frac{4}{x^2-10x} = \frac{4}{(x-5)^2 - 25}$，令$u = x-5$，则$\displaystyle f(u) = \frac{4}{u^2 - 25}$。 步骤2：则$\displaystyle f(2x+1) = \frac{4}{(2x+1)^2 - 25} = \frac{4}{4x^2+4x+1-25} = \frac{4}{4x^2+4x-24} = \frac{1}{x^2+x-6} = \frac{1}{(x+3)(x-2)}$。 步骤3：$\displaystyle \int_{0}^{4} f(2x+1) dx = \int_{0}^{4} \frac{dx}{(x+3)(x-2)}$，在$x=2$处被积函数无定义，且为瑕点，故为反常积分。计算：$\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{dx}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{5} \int_{0}^{4} (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+3}) dx$，在$x=2$附近$\displaystyle \frac{1}{x-2}$发散，但主值积分？实际该积分发散，但选项说不是反常积分且值为$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，需检查：$\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+x-6} = \frac{1}{5} \ln|\frac{x-2}{x+3}| + C$，代入上下限得$\displaystyle \frac{1}{5} [\ln|\frac{2}{7}| - \ln|\frac{-2}{3}|] = \frac{1}{5} \ln(\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{2}) = \frac{1}{5} \ln \frac{3}{7}$，但瑕点处需取极限，实际发散。然而选项D说不是反常积分且值为$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，可能原题有误或理解不同。实际上，若考虑瑕积分，$\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{dx}{(x+3)(x-2)}$发散，故整体发散。但选项B说为反常积分且收敛，也不对。根据计算，该积分在$x=2$处发散，故为反常积分且发散，但无此选项。检查原题：$\displaystyle f(x-5)=\frac{4}{x^2-10x}$，则$f(2x+1)$分母为$(2x+1)^2-10(2x+1)=4x^2+4x+1-20x-10=4x^2-16x-9$，与之前不同。重新计算：$\displaystyle f(x-5)=\frac{4}{x^2-10x}$，令$t=x-5$，则$x=t+5$，$\displaystyle f(t)=\frac{4}{(t+5)^2-10(t+5)}=\frac{4}{t^2+10t+25-10t-50}=\frac{4}{t^2-25}$，正确。则$\displaystyle f(2x+1)=\frac{4}{(2x+1)^2-25}=\frac{4}{4x^2+4x+1-25}=\frac{4}{4x^2+4x-24}=\frac{1}{x^2+x-6}$，正确。积分$\displaystyle \int_0^4 \frac{dx}{x^2+x-6} = \int_0^4 \frac{dx}{(x-2)(x+3)}$，在$x=2$处为瑕点，发散。但选项D说不是反常积分，显然错误。可能题目中$\displaystyle f(x-5)=\frac{4}{x^2-10x}$定义域排除瑕点，但积分区间包含瑕点，故为反常积分且发散。但无对应选项，检查选项：A为反常积分发散，B为反常积分收敛，C不是反常积分值为10，D不是反常积分值为$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。由于发散，应选A？但A说为反常积分且发散，符合。然而原题可能通过配方得$\displaystyle \int_0^4 \frac{dx}{(x-2)^2+?}$，实际分母为$\displaystyle x^2+x-6=(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}$，不是完全平方。故答案为A。 **难度**：★★★☆☆