kaoyan1basic 高等数学 第25题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第25题（选择题） 25．下列表达式中正确的是（ ）。 （A） $\int_{\pi}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x \leqslant \int_{\pi}^{2 \pi} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ （B） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x<\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x}{1+x^{4}}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ （C） $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{c}^{d} f(x) \mathrm{d} x,[a, b] \subset[c, d], f(x)$ 连续，$x \in[c, d]$ （D） $\int_{-1}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x, f(x)$ 连续，$x \in[-1,1]$

## 第9章 一元函数积分学的计算

💡 答案解析

**答案**：B **解析**： 步骤1：分析选项A。在区间$[\pi,2\pi]$上，$|\sin x| \ge \sin^2 x$，故$\int_{\pi}^{2\pi}|\sin x|dx \ge \int_{\pi}^{2\pi}\sin^2 x dx$，A错误。 步骤2：分析选项B。在$\displaystyle [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上，$\displaystyle \frac{x}{1+\cos x}$为奇函数，积分为0；而$\displaystyle \frac{\sin x}{1+x^4}$为奇函数，$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$为偶函数且恒正，故右边积分大于0，B正确。 步骤3：分析选项C。若$f(x)$在$[c,d]$上非正，则左边可能大于右边，C错误。 步骤4：分析选项D。仅当$f(x)$为偶函数时成立，一般连续函数不满足，D错误。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：分析选项A
在区间[π,2π]上，|sin x| ≥ sin² x，且不恒等，因此∫|sin x|dx ≥ ∫sin² xdx，故A错误。
公式：若f(x)≥g(x)且不恒等，则∫f(x)dx > ∫g(x)dx
提示：比较定积分大小时，先比较被积函数大小。
步骤 2/4
目标：分析选项B
在[-π/4,π/4]上，x/(1+cos x)是奇函数，积分为0；sin x/(1+x⁴)是奇函数，积分为0；1/(1+x²)是偶函数且恒正，积分大于0。因此右边积分大于0，左边为0，故B正确。
公式：奇函数在对称区间积分为0；偶函数在对称区间积分为2倍正半轴积分。
提示：利用奇偶性简化积分比较。
步骤 3/4
目标：分析选项C
若f(x)在[c,d]上非正，则∫_a^b f(x)dx可能大于∫_c^d f(x)dx，因为区间更小但负值更集中。反例：f(x)=-1，[a,b]=[0,1]，[c,d]=[0,2]，左边=-1，右边=-2，左边>右边。故C错误。
公式：积分区间扩大不一定导致积分值增大，取决于被积函数符号。
提示：注意被积函数可能为负。
步骤 4/4
目标：分析选项D
等式∫_{-1}^{1}|f(x)|dx=2∫_0^1|f(x)|dx成立当且仅当|f(x)|为偶函数，即f(x)为偶函数或满足|f(-x)|=|f(x)|。一般连续函数不满足，反例：f(x)=x，左边=1，右边=1，但f(x)=x不是偶函数，但|f(x)|是偶函数，实际上该等式对任何f(x)都成立？检查：|f(x)|是偶函数，因为|f(-x)|=|f(x)|，所以∫_{-1}^{1}|f(x)|dx=2∫_0^1|f(x)|dx恒成立。但题目中f(x)连续，|f(x)|连续，故D正确？然而答案选B，说明D有陷阱。实际上，若f(x)连续，|f(x)|未必是偶函数？例如f(x)=x+1，则|f(-x)|=| -x+1|，|f(x)|=|x+1|，不相等，故等式不成立。因此D错误。
公式：∫_{-a}^{a}|f(x)|dx=2∫_0^a|f(x)|dx成立当且仅当|f(x)|为偶函数。
提示：注意绝对值函数的奇偶性依赖于f(x)。

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