kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．计算不定积分 $\displaystyle \int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x\ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) - \frac{1}{2}\ln(2x+1+2\sqrt{x(x+1)}) + C$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t=\sqrt{\frac{1+x}{x}}$，则$\displaystyle x=\frac{1}{t^2-1}$，$\displaystyle dx=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt$。 步骤2：原积分化为$\displaystyle \int \ln(1+t) \cdot \left(-\frac{2t}{(t^2-1)^2}\right) dt$，分部积分后化简。 步骤3：回代并整理得$\displaystyle x\ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) - \frac{1}{2}\ln(2x+1+2\sqrt{x(x+1)}) + C$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元简化积分
令 t = sqrt((1+x)/x)，则 x = 1/(t^2-1)，dx = -2t/(t^2-1)^2 dt。原积分化为 ∫ ln(1+t) * (-2t/(t^2-1)^2) dt。
公式：t = sqrt((1+x)/x), x = 1/(t^2-1), dx = -2t/(t^2-1)^2 dt
提示：注意 x>0 保证根号有意义，换元后 t>1。
步骤 2/4
目标：分部积分
令 u = ln(1+t), dv = -2t/(t^2-1)^2 dt，则 du = 1/(1+t) dt, v = 1/(t^2-1)。分部积分得：∫ ln(1+t) * (-2t/(t^2-1)^2) dt = ln(1+t)/(t^2-1) - ∫ 1/((1+t)(t^2-1)) dt。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：计算 v 时，注意 ∫ -2t/(t^2-1)^2 dt = 1/(t^2-1) + C。
步骤 3/4
目标：化简剩余积分
将 1/((1+t)(t^2-1)) 分解为部分分式：1/((1+t)(t-1)(t+1)) = 1/((t-1)(t+1)^2)。利用待定系数法分解为 A/(t-1) + B/(t+1) + C/(t+1)^2，解得 A=1/4, B=-1/4, C=1/2。积分得 (1/4)ln|t-1| - (1/4)ln|t+1| - 1/(2(t+1)) + C。
公式：部分分式分解：1/((t-1)(t+1)^2) = 1/4 * 1/(t-1) - 1/4 * 1/(t+1) + 1/2 * 1/(t+1)^2
提示：注意 t>1，绝对值可去掉。
步骤 4/4
目标：回代并整理结果
将 t = sqrt((1+x)/x) 回代，得到原积分 = x ln(1+sqrt((1+x)/x)) - (1/2) ln(2x+1+2sqrt(x(x+1))) + C。
公式：回代后化简：ln|t-1| - ln|t+1| = ln((t-1)/(t+1))，且 (t-1)/(t+1) = 1/(2x+1+2sqrt(x(x+1)))
提示：注意化简时利用 sqrt((1+x)/x) 与 x 的关系。
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