kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求 $\displaystyle \int \frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{3}\ln|2x+1| - \frac{1}{6}\ln(x^2+x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C$ **解析**： 步骤1：设$\displaystyle \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$，解得$\displaystyle A=\frac{1}{3}, B=-\frac{1}{6}, C=\frac{5}{6}$。 步骤2：积分得$\displaystyle \frac{1}{3}\ln|2x+1| - \frac{1}{6}\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx + \int\frac{1}{x^2+x+1}dx$。 步骤3：计算得$\displaystyle \frac{1}{3}\ln|2x+1| - \frac{1}{6}\ln(x^2+x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将有理函数分解为部分分式之和
设 \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}，通分后比较分子系数，解得 A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{6}, C = \frac{5}{6}。
公式：\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)} = \frac{1/3}{2x+1} + \frac{-x/6 + 5/6}{x^2+x+1}
提示：注意分母因式分解，二次项无法再分解。
步骤 2/5
目标：分别积分各部分
积分得 \frac{1}{3}\ln|2x+1| - \frac{1}{6}\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx + \int \frac{1}{x^2+x+1}dx。
公式：\int \frac{1}{2x+1}dx = \frac{1}{2}\ln|2x+1|
提示：注意系数调整。
步骤 3/5
目标：计算第二个积分
\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx = \ln(x^2+x+1) + C。
公式：\int \frac{du}{u} = \ln|u|, u=x^2+x+1
提示：分子是分母的导数。
步骤 4/5
目标：计算第三个积分
\int \frac{1}{x^2+x+1}dx = \int \frac{1}{(x+1/2)^2 + 3/4}dx = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C。
公式：\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}
提示：配方后使用反正切积分公式。
步骤 5/5
目标：合并结果
将各部分积分结果合并，得到最终答案：\frac{1}{3}\ln|2x+1| - \frac{1}{6}\ln(x^2+x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C。
提示：注意常数C的合并。
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