kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（解答题） 2．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{3}(e^x+2)\sqrt{e^x-1}+C$ **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{e^x-1}$，则$e^x=t^2+1$，$\displaystyle dx=\frac{2t}{t^2+1}dt$。 步骤2：原积分化为$\displaystyle \int \frac{(t^2+1)^2}{t} \cdot \frac{2t}{t^2+1} dt = 2\int (t^2+1) dt = 2\left(\frac{t^3}{3}+t\right)+C$。 步骤3：回代$t=\sqrt{e^x-1}$得$\displaystyle \frac{2}{3}(e^x+2)\sqrt{e^x-1}+C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：通过换元简化积分
令 t = √(e^x - 1)，则 e^x = t^2 + 1，dx = 2t/(t^2+1) dt。
公式：t = √(e^x - 1), e^x = t^2 + 1, dx = 2t/(t^2+1) dt
提示：选择换元时，注意被积函数中根号部分，通常令根号整体为变量。
步骤 2/4
目标：将原积分转化为关于t的积分
原积分 = ∫ (e^(2x)/√(e^x-1)) dx = ∫ ((t^2+1)^2 / t) * (2t/(t^2+1)) dt = 2 ∫ (t^2+1) dt。
公式：∫ (e^(2x)/√(e^x-1)) dx = 2 ∫ (t^2+1) dt
提示：化简时注意约分，避免计算错误。
步骤 3/4
目标：计算关于t的积分
2 ∫ (t^2+1) dt = 2 (t^3/3 + t) + C。
公式：∫ (t^2+1) dt = t^3/3 + t
提示：积分后不要忘记常数C。
步骤 4/4
目标：回代变量得到最终结果
将 t = √(e^x-1) 代入，得 2( (e^x-1)^(3/2)/3 + √(e^x-1) ) + C = (2/3)(e^x+2)√(e^x-1) + C。
公式：2( t^3/3 + t ) + C = (2/3)(e^x+2)√(e^x-1) + C
提示：回代后化简，注意合并同类项。
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