kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1． $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：令$t=1-x$，则$dx=-dt$，积分变为$\displaystyle \int_0^1 \ln\frac{1}{t} dt = -\int_0^1 \ln t dt$。 步骤2：计算$\int_0^1 \ln t dt = [t\ln t - t]_0^1 = -1$，故原积分为$1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数
令 t = 1 - x，则 dx = -dt，当 x=0 时 t=1，x=1 时 t=0，积分变为 ∫_1^0 ln(1/t) (-dt) = ∫_0^1 ln(1/t) dt = -∫_0^1 ln t dt。
公式：∫_a^b f(x)dx = -∫_b^a f(x)dx
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 2/3
目标：计算积分 ∫_0^1 ln t dt
使用分部积分法：∫ ln t dt = t ln t - t + C，则 ∫_0^1 ln t dt = [t ln t - t]_0^1 = (1·0 - 1) - (0 - 0) = -1。
公式：∫ ln x dx = x ln x - x + C
提示：注意 t→0+ 时 t ln t → 0
步骤 3/3
目标：得出原积分结果
原积分 = -(-1) = 1。
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