kaoyan1basic 高等数学 第4题

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📝 题目

### 【基础篇】第4题（解答题） 4．计算不定积分 $\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2}(e^x+1)\sqrt{e^x-1} + \frac{1}{2}\arctan\sqrt{e^x-1} + C$ **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{e^x-1}$，则$e^x=t^2+1$，$\displaystyle dx=\frac{2t}{t^2+1}dt$。 步骤2：原积分化为$\displaystyle \int (t^2+1)^2 \arctan t \cdot \frac{2t}{t^2+1} dt = 2\int t(t^2+1)\arctan t dt$。 步骤3：分部积分，令$u=\arctan t$，$dv=2t(t^2+1)dt$，得$\displaystyle v=\frac{1}{2}(t^2+1)^2$。 步骤4：计算得$\displaystyle \frac{1}{2}(t^2+1)^2\arctan t - \frac{1}{2}\int (t^2+1) dt = \frac{1}{2}(t^2+1)^2\arctan t - \frac{1}{2}\left(\frac{t^3}{3}+t\right)+C$。 步骤5：回代$t=\sqrt{e^x-1}$并整理得$\displaystyle \frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2}(e^x+1)\sqrt{e^x-1} + \frac{1}{2}\arctan\sqrt{e^x-1} + C$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：换元简化积分
令 $t = \sqrt{e^x - 1}$，则 $e^x = t^2 + 1$，$dx = \frac{2t}{t^2+1} dt$。原积分化为 $\int (t^2+1)^2 \arctan t \cdot \frac{2t}{t^2+1} dt = 2\int t(t^2+1)\arctan t\, dt$。
公式：$t = \sqrt{e^x - 1}$，$dx = \frac{2t}{t^2+1} dt$
提示：注意换元后要正确替换微分和积分变量。
步骤 2/4
目标：分部积分
令 $u = \arctan t$，$dv = 2t(t^2+1) dt$，则 $du = \frac{1}{1+t^2} dt$，$v = \frac{1}{2}(t^2+1)^2$。分部积分得 $\frac{1}{2}(t^2+1)^2 \arctan t - \frac{1}{2} \int (t^2+1) dt$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：选择 $u$ 和 $dv$ 时，$\arctan t$ 的导数简单，多项式容易积分。
步骤 3/4
目标：计算剩余积分
计算 $\int (t^2+1) dt = \frac{t^3}{3} + t$，代入得 $\frac{1}{2}(t^2+1)^2 \arctan t - \frac{1}{2}\left(\frac{t^3}{3} + t\right) + C$。
公式：$\int t^2 dt = \frac{t^3}{3}$，$\int 1 dt = t$
提示：注意积分常数 $C$ 不要遗漏。
步骤 4/4
目标：回代变量
将 $t = \sqrt{e^x - 1}$ 代入，$t^2+1 = e^x$，$(t^2+1)^2 = e^{2x}$，$t^3 = (e^x-1)\sqrt{e^x-1}$。整理得 $\frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2}(e^x+1)\sqrt{e^x-1} + \frac{1}{2}\arctan\sqrt{e^x-1} + C$。
公式：$t = \sqrt{e^x-1}$，$e^x = t^2+1$
提示：回代时注意化简，合并同类项。

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