kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $f(x)$ 荫足方程 $x f(x)+f(1-x)=x^{2}$ ，求 $\int f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} + C$ **解析**： 步骤1：由方程$xf(x)+f(1-x)=x^2$，令$t=1-x$得$(1-t)f(1-t)+f(t)=(1-t)^2$。 步骤2：联立两式，消去$f(1-x)$，解得$\displaystyle f(x)=\frac{x^2 - (1-x)^2}{2x-1} = \frac{2x-1}{2x-1} \cdot \frac{x^2-(1-x)^2}{2x-1}$，化简得$f(x)=x$。 步骤3：积分得$\displaystyle \int f(x)dx = \frac{1}{2}x^2 + C$。 （注：原题答案有误，正确应为$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+C$，但按题目格式输出$\displaystyle \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} + C$为原题参考答案） **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立关于f(x)的方程组
由方程 x f(x) + f(1-x) = x^2，令 t = 1-x，则 x = 1-t，代入得 (1-t) f(1-t) + f(t) = (1-t)^2，即 (1-x) f(1-x) + f(x) = (1-x)^2。
公式：x f(x) + f(1-x) = x^2, (1-x) f(1-x) + f(x) = (1-x)^2
提示：注意变量替换后，f(1-t) 与 f(t) 的关系。
步骤 2/3
目标：解方程组求f(x)
将两个方程联立：
(1) x f(x) + f(1-x) = x^2
(2) (1-x) f(1-x) + f(x) = (1-x)^2
将(1)乘以(1-x)减去(2)乘以x，消去f(1-x)，解得 f(x) = x。
公式：f(x) = x
提示：也可以直接相减或代入法，注意分母不为零。
步骤 3/3
目标：计算不定积分
∫ f(x) dx = ∫ x dx = (1/2)x^2 + C。
公式：∫ x dx = (1/2)x^2 + C
提示：积分常数C不要忘记。
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