kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．定积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=(\quad)$ ． （A） 2 （B） $\displaystyle 2-\frac{4}{\mathrm{e}}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ （D） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2t dt$，积分限$0$到$1$。 步骤2：原积分化为$\int_0^1 e^{-t} \cdot 2t dt = 2\int_0^1 t e^{-t} dt$。 步骤3：分部积分得$\displaystyle 2[-te^{-t}|_0^1 + \int_0^1 e^{-t} dt] = 2[-e^{-1} - e^{-t}|_0^1] = 2[-e^{-1} - (e^{-1}-1)] = 2(1-\frac{2}{e}) = 2-\frac{4}{e}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元简化积分
令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$，积分限从 $0$ 到 $1$ 变为 $0$ 到 $1$。
公式：$t=\sqrt{x},\ dx=2t\,dt$
提示：当被积函数含有根号时，常用换元法去掉根号。
步骤 2/4
目标：化为关于t的积分
原积分化为 $\int_0^1 e^{-t} \cdot 2t\,dt = 2\int_0^1 t e^{-t}\,dt$。
公式：$\int_0^1 e^{-\sqrt{x}}dx = 2\int_0^1 t e^{-t}dt$
步骤 3/4
目标：分部积分
使用分部积分法：令 $u=t$，$dv=e^{-t}dt$，则 $du=dt$，$v=-e^{-t}$。于是 $\int t e^{-t}dt = -t e^{-t} + \int e^{-t}dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：分部积分时，选择 $u$ 为多项式函数，$dv$ 为指数函数。
步骤 4/4
目标：计算定积分
代入上下限：$2\left[ -t e^{-t} - e^{-t} \right]_0^1 = 2\left[ (-1\cdot e^{-1} - e^{-1}) - (0 - 1) \right] = 2\left( -\frac{2}{e} + 1 \right) = 2 - \frac{4}{e}$。
公式：$\left[ -t e^{-t} - e^{-t} \right]_0^1 = (-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}) - (0-1) = -\frac{2}{e}+1$
提示：注意 $e^0=1$，计算时小心符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。