kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．$\sum_{n-1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} 2^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\ln 2}$ **解析**： 步骤1：$\sum_{n=1}^{\infty} \int_n^{n+1} 2^{-\sqrt{x}} dx = \int_1^{\infty} 2^{-\sqrt{x}} dx$。 步骤2：令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2t dt$，积分限$1$到$\infty$。 步骤3：原积分化为$\int_1^{\infty} 2^{-t} \cdot 2t dt = 2\int_1^{\infty} t e^{-t\ln 2} dt$。 步骤4：计算得$\displaystyle 2\left[-\frac{t}{\ln 2}e^{-t\ln 2}\right]_1^{\infty} + \frac{2}{\ln 2}\int_1^{\infty} e^{-t\ln 2} dt = \frac{2}{\ln 2}e^{-\ln 2} + \frac{2}{(\ln 2)^2}e^{-\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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