kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（填空题） 8． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec ^{3} \theta \mathrm{~d} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1)+\frac{\sqrt{2}}{2}$ **解析**：步骤1：利用公式$\displaystyle \int \sec^3\theta d\theta = \frac{1}{2}(\sec\theta\tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|)+C$。 步骤2：代入上下限$\theta=0$到$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，得$\displaystyle \frac{1}{2}[\sec\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{4} + \ln(\sec\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\pi}{4})] - \frac{1}{2}[\sec0\tan0 + \ln(\sec0+\tan0)] = \frac{1}{2}(\sqrt{2}\cdot1 + \ln(\sqrt{2}+1)) - \frac{1}{2}(0+\ln1) = \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1)+\frac{\sqrt{2}}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：使用积分公式
利用公式 ∫ sec³θ dθ = 1/2 (secθ tanθ + ln|secθ + tanθ|) + C。
公式：∫ sec³θ dθ = 1/2 (secθ tanθ + ln|secθ + tanθ|) + C
提示：该公式可通过分部积分或查表得到，需熟记。
步骤 2/2
目标：代入上下限计算定积分
代入上限 θ=π/4 和下限 θ=0：
原式 = 1/2 [sec(π/4) tan(π/4) + ln(sec(π/4) + tan(π/4))] - 1/2 [sec0 tan0 + ln(sec0 + tan0)]。
计算：sec(π/4)=√2, tan(π/4)=1, sec0=1, tan0=0, ln1=0。
得：1/2 (√2 * 1 + ln(√2+1)) - 1/2 (0 + 0) = 1/2 ln(√2+1) + √2/2。
提示：注意 sec0=1, tan0=0, ln1=0，简化计算。
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