kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设 $f(x)$ 是以 2 为周期的连续函数， $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1, g(x)$ 是过点 $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ 和 $(0,1)$ 的直线，则 $\int_{0}^{2} \mathscr{J}[g(x)] d \tau=(\quad)$. （A）-2 （B）-1 （C） 1 （D） 2
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：求直线$g(x)$过点$\displaystyle (-\frac12,0)$和$(0,1)$，斜率$\displaystyle k=\frac{1-0}{0-(-\frac12)}=2$，方程为$g(x)=2x+1$。 步骤2：题目中$\int_0^2 \mathscr{J}[g(x)] d\tau$符号有误，应为$\int_0^2 f[g(x)] dx$？但原题写$\mathscr{J}[g(x)]$，可能为$f(g(x))$。按常规理解，$f$周期为2，$\int_0^2 f(x)dx=1$。 步骤3：计算$\int_0^2 f(2x+1)dx$，令$u=2x+1$，则$\displaystyle dx=\frac12 du$，当$x=0$时$u=1$，$x=2$时$u=5$。 步骤4：$\displaystyle \int_0^2 f(2x+1)dx = \frac12\int_1^5 f(u)du$。由于$f$周期为2，$\int_1^5 f(u)du = \int_1^3 f(u)du + \int_3^5 f(u)du = 2\int_0^2 f(u)du = 2\cdot1=2$（因为周期函数在长度2的区间上积分相等）。 步骤5：故原积分$\displaystyle =\frac12\cdot2=1$。 **难度**：★★★☆☆