kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+1)-f(x)=x \ln x, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac12\ln2-\frac14$ **解析**：步骤1：令$u=x-1$，则$\int_1^2 f(x)dx = \int_0^1 f(u+1)du$。 步骤2：由条件$f(x+1)-f(x)=x\ln x$，得$f(u+1)=f(u)+u\ln u$。 步骤3：所以$\int_1^2 f(x)dx = \int_0^1 [f(u)+u\ln u]du = \int_0^1 f(u)du + \int_0^1 u\ln u du$。 步骤4：已知$\int_0^1 f(x)dx=0$，计算$\displaystyle \int_0^1 u\ln u du = \lim_{\epsilon\to0^+} [\frac{u^2}{2}\ln u - \frac{u^2}{4}]_\epsilon^1 = (0-\frac14) - (0-0) = -\frac14$。 步骤5：故原积分$\displaystyle =0 + (-\frac14) = -\frac14$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将积分区间从[1,2]变换到[0,1]
令 u = x - 1，则当 x 从 1 到 2 时，u 从 0 到 1，且 dx = du，所以 ∫₁² f(x) dx = ∫₀¹ f(u+1) du。
公式：∫₁² f(x) dx = ∫₀¹ f(u+1) du
提示：换元时注意积分限的变化。
步骤 2/6
目标：利用已知条件 f(x+1)-f(x)=x ln x 将 f(u+1) 用 f(u) 表示
由条件 f(x+1)-f(x)=x ln x，令 x = u，得 f(u+1) = f(u) + u ln u。
公式：f(u+1) = f(u) + u ln u
提示：注意条件中的 x 是任意实数，可以替换为 u。
步骤 3/6
目标：将变换后的积分拆分为两个积分之和
∫₀¹ f(u+1) du = ∫₀¹ [f(u) + u ln u] du = ∫₀¹ f(u) du + ∫₀¹ u ln u du。
公式：∫₀¹ f(u+1) du = ∫₀¹ f(u) du + ∫₀¹ u ln u du
提示：利用积分线性性质。
步骤 4/6
目标：代入已知条件 ∫₀¹ f(x) dx = 0
已知 ∫₀¹ f(x) dx = 0，所以 ∫₀¹ f(u) du = 0。
公式：∫₀¹ f(u) du = 0
提示：注意积分变量名称无关紧要。
步骤 5/6
目标：计算 ∫₀¹ u ln u du
使用分部积分法：∫ u ln u du = (u²/2) ln u - ∫ (u²/2)*(1/u) du = (u²/2) ln u - ∫ (u/2) du = (u²/2) ln u - u²/4 + C。计算定积分：∫₀¹ u ln u du = lim_{ε→0⁺} [(u²/2) ln u - u²/4]_{ε}^{1} = (1/2*0 - 1/4) - (0 - 0) = -1/4。
公式：∫₀¹ u ln u du = -1/4
提示：注意在 u=0 处取极限，因为 ln u 发散。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原积分 = 0 + (-1/4) = -1/4。
公式：∫₁² f(x) dx = -1/4
提示：结果与答案一致。
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