kaoyan1basic 高等数学 第10题

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac12$ **解析**：步骤1：利用分部积分，$\int_0^1 f(x)dx = [xf(x)]_0^1 - \int_0^1 x f'(x)dx = f(1) - \int_0^1 x\arctan(x-1)^2 dx$。 步骤2：由$f'(x)=\arctan(x-1)^2$，$f(0)=0$，得$f(1)=\int_0^1 \arctan(x-1)^2 dx$。 步骤3：令$u=x-1$，则$f(1)=\int_{-1}^0 \arctan u^2 du$。 步骤4：原积分$=\int_{-1}^0 \arctan u^2 du - \int_0^1 x\arctan(x-1)^2 dx$。 步骤5：对第二个积分令$t=x-1$，则$x=t+1$，$dx=dt$，当$x=0$时$t=-1$，$x=1$时$t=0$，得$\int_0^1 x\arctan(x-1)^2 dx = \int_{-1}^0 (t+1)\arctan t^2 dt$。 步骤6：原积分$=\int_{-1}^0 \arctan t^2 dt - \int_{-1}^0 (t+1)\arctan t^2 dt = -\int_{-1}^0 t\arctan t^2 dt$。 步骤7：令$v=t^2$，则$dv=2t dt$，$\displaystyle t dt = \frac12 dv$，当$t=-1$时$v=1$，$t=0$时$v=0$，原积分$\displaystyle =-\frac12\int_1^0 \arctan v dv = \frac12\int_0^1 \arctan v dv$。 步骤8：$\displaystyle \int_0^1 \arctan v dv = [v\arctan v - \frac12\ln(1+v^2)]_0^1 = (1\cdot\frac{\pi}{4} - \frac12\ln2) - 0 = \frac{\pi}{4} - \frac12\ln2$。 步骤9：故原积分$\displaystyle =\frac12(\frac{\pi}{4} - \frac12\ln2) = \frac{\pi}{8} - \frac14\ln2$。 **难度**：★★★★☆