kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．若 $\mathrm{e}^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2}} f(\ln x) \mathrm{d} x=$ ． （A）$\displaystyle -\frac{1}{4}$ （B）-1 （C）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （D） 1
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$e^{-x}$是$f(x)$的一个原函数，得$f(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}$。 步骤2：计算$\displaystyle \int_1^{\sqrt2} \frac{1}{x^2} f(\ln x) dx = \int_1^{\sqrt2} \frac{1}{x^2} (-e^{-\ln x}) dx = \int_1^{\sqrt2} \frac{1}{x^2} (-\frac1x) dx = -\int_1^{\sqrt2} \frac{1}{x^3} dx$。 步骤3：$\displaystyle -\int_1^{\sqrt2} x^{-3} dx = -[\frac{x^{-2}}{-2}]_1^{\sqrt2} = \frac12 [\frac{1}{x^2}]_1^{\sqrt2} = \frac12(\frac12 - 1) = \frac12(-\frac12) = -\frac14$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由原函数求导得f(x)表达式
已知e^{-x}是f(x)的一个原函数，则f(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}。
公式：f(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}
提示：原函数的导数等于被积函数。
步骤 2/3
目标：代入f(ln x)并化简被积函数
将f(ln x) = -e^{-ln x} = -1/x代入积分，得∫_{1}^{√2} (1/x^2) * (-1/x) dx = -∫_{1}^{√2} 1/x^3 dx。
公式：e^{-ln x} = 1/x
提示：注意ln x的定义域，x>0。
步骤 3/3
目标：计算定积分
计算-∫_{1}^{√2} x^{-3} dx = -[x^{-2}/(-2)]_{1}^{√2} = (1/2)[1/x^2]_{1}^{√2} = (1/2)(1/2 - 1) = -1/4。
公式：∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) (n≠-1)
提示：注意积分上下限代入时需仔细计算。
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