kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设 $g(x)=x^{2}, g[f(x)]=-x^{2}+2 x+3$ ，且 $f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**：步骤1：由$g(x)=x^2$，$g[f(x)]=[f(x)]^2 = -x^2+2x+3$，且$f(x)>0$，得$f(x)=\sqrt{-x^2+2x+3} = \sqrt{-(x^2-2x-3)} = \sqrt{4-(x-1)^2}$。 步骤2：$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)}dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx$。 步骤3：令$x-1=2\sin\theta$，则$dx=2\cos\theta d\theta$，当$x=0$时$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{6}$，$x=1$时$\theta=0$。 步骤4：原积分$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{6}}^0 \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^0 \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^0 d\theta = \frac{\pi}{6}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由复合函数关系求出f(x)的表达式
已知g(x)=x^2，g[f(x)]=[f(x)]^2 = -x^2+2x+3，且f(x)>0，所以f(x)=√(-x^2+2x+3)。将根号内配方：-x^2+2x+3 = -(x^2-2x-3) = -(x^2-2x+1-4) = 4-(x-1)^2，故f(x)=√(4-(x-1)^2)。
公式：f(x)=√(4-(x-1)^2)
提示：注意f(x)>0，开方取正。
步骤 2/4
目标：写出待求积分表达式
∫_0^1 1/f(x) dx = ∫_0^1 1/√(4-(x-1)^2) dx。
公式：∫_0^1 1/√(4-(x-1)^2) dx
步骤 3/4
目标：使用三角代换简化积分
令x-1=2sinθ，则dx=2cosθ dθ。当x=0时，-1=2sinθ，sinθ=-1/2，θ=-π/6；当x=1时，0=2sinθ，sinθ=0，θ=0。积分限变为θ从-π/6到0。
公式：x-1=2sinθ, dx=2cosθ dθ
提示：注意积分限的变换。
步骤 4/4
目标：计算积分
原积分 = ∫_{-π/6}^0 (2cosθ)/√(4-4sin^2θ) dθ = ∫_{-π/6}^0 (2cosθ)/(2|cosθ|) dθ。在区间[-π/6,0]上，cosθ>0，所以|cosθ|=cosθ，因此被积函数简化为1，积分 = ∫_{-π/6}^0 dθ = 0 - (-π/6) = π/6。
公式：∫_{-π/6}^0 dθ = π/6
提示：注意cosθ在积分区间内为正，去掉绝对值。
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