kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{2 x} f\left(x+\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$g(x)$ 是的（ ． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：令$\displaystyle u=x+\frac{t}{2}$，则$t=2(u-x)$，$dt=2du$，当$t=0$时$u=x$，$t=2x$时$u=2x$。 步骤2：$g(x)=\int_x^{2x} f(u) \cdot 2 du = 2\int_x^{2x} f(u) du$。 步骤3：当$x\to0^+$时，$g(x)$为无穷小，由积分中值定理，$g(x)=2f(\xi)(2x-x)=2xf(\xi)$，其中$\xi\in[x,2x]$，故$\xi\to0^+$。 步骤4：$\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to0^+} 2f(\xi) = 2f(0)$，若$f(0)\neq0$，则$g(x)$与$x$同阶非等价；若$f(0)=0$，则需进一步判断。题目未给$f(0)$，但选项暗示同阶非等价。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简积分表达式
令 u = x + t/2，则 t = 2(u - x)，dt = 2 du。当 t = 0 时 u = x；当 t = 2x 时 u = 2x。代入得 g(x) = ∫_x^{2x} f(u) * 2 du = 2∫_x^{2x} f(u) du。
公式：g(x) = 2∫_x^{2x} f(u) du
提示：注意换元时积分限的变化。
步骤 2/3
目标：利用积分中值定理估计 g(x)
由积分中值定理，存在 ξ ∈ [x, 2x] 使得 g(x) = 2 f(ξ) (2x - x) = 2x f(ξ)。当 x → 0⁺ 时，ξ → 0⁺。
公式：g(x) = 2x f(ξ), ξ ∈ [x, 2x]
提示：积分中值定理要求被积函数连续，题目已给出 f 连续。
步骤 3/3
目标：比较 g(x) 与 x 的无穷小阶数
计算极限 lim_{x→0⁺} g(x)/x = lim_{x→0⁺} 2 f(ξ) = 2 f(0)。若 f(0) ≠ 0，则 g(x) 与 x 同阶但非等价（因为极限为 2f(0) ≠ 1）。题目未给出 f(0) 的具体值，但选项暗示同阶非等价。
公式：lim_{x→0⁺} g(x)/x = 2 f(0)
提示：若 f(0)=0，则需进一步分析，但根据选项选择 D。
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