kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．求 $\int_{-1}^{1} x \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac12$ **解析**：步骤1：令$x=-t$，则$\int_{-1}^1 x\ln(1+e^x)dx = \int_1^{-1} (-t)\ln(1+e^{-t})(-dt) = \int_{-1}^1 t\ln(1+e^{-t})dt$。 步骤2：所以原积分$I = \int_{-1}^1 x\ln(1+e^x)dx = \int_{-1}^1 x\ln(1+e^{-x})dx$。 步骤3：两式相加：$2I = \int_{-1}^1 x[\ln(1+e^x)+\ln(1+e^{-x})]dx = \int_{-1}^1 x\ln[(1+e^x)(1+e^{-x})]dx$。 步骤4：$(1+e^x)(1+e^{-x}) = 1+e^x+e^{-x}+1 = 2+e^x+e^{-x} = e^x(1+e^{-x})+1+e^{-x} = (1+e^{-x})(e^x+1)$，更简单：$(1+e^x)(1+e^{-x}) = 1+e^x+e^{-x}+1 = 2+e^x+e^{-x} = e^{-x}(e^{2x}+e^x+1)$，但注意到$\ln[(1+e^x)(1+e^{-x})] = \ln(e^x(e^{-x}+1)(1+e^{-x})) = \ln(e^x) + \ln(1+e^{-x})^2 = x + 2\ln(1+e^{-x})$，不简洁。 步骤5：直接计算：$(1+e^x)(1+e^{-x}) = 2+e^x+e^{-x}$，而$\ln(2+e^x+e^{-x})$不是奇函数。 步骤6：利用对称性：原积分$I = \int_{-1}^1 x\ln(1+e^x)dx$，考虑$I = \int_{-1}^0 x\ln(1+e^x)dx + \int_0^1 x\ln(1+e^x)dx$。 步骤7：对第一部分令$x=-u$，得$\int_{-1}^0 x\ln(1+e^x)dx = \int_1^0 (-u)\ln(1+e^{-u})(-du) = \int_0^1 u\ln(1+e^{-u})du$。 步骤8：所以$I = \int_0^1 x\ln(1+e^{-x})dx + \int_0^1 x\ln(1+e^x)dx = \int_0^1 x[\ln(1+e^x)+\ln(1+e^{-x})]dx$。 步骤9：$\ln(1+e^x)+\ln(1+e^{-x}) = \ln[(1+e^x)(1+e^{-x})] = \ln(2+e^x+e^{-x})$。 步骤10：又$\ln(2+e^x+e^{-x}) = \ln(e^x(2e^{-x}+1+e^{-2x})) = x + \ln(1+2e^{-x}+e^{-2x})$，不简单。 步骤11：另一种方法：$\ln(1+e^x) = \ln(e^x(e^{-x}+1)) = x + \ln(1+e^{-x})$，所以原积分$I = \int_{-1}^1 x(x+\ln(1+e^{-x}))dx = \int_{-1}^1 x^2 dx + \int_{-1}^1 x\ln(1+e^{-x})dx$。 步骤12：$\displaystyle \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac23$，而$\int_{-1}^1 x\ln(1+e^{-x})dx$，令$x=-t$，得$\int_{-1}^1 x\ln(1+e^{-x})dx = -\int_{-1}^1 t\ln(1+e^t)dt = -I$。 步骤13：所以$\displaystyle I = \frac23 - I$，得$\displaystyle 2I = \frac23$，$\displaystyle I = \frac13$。 **难度**：★★★★☆