kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，在 $x=0$ 处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, \varphi(x) \left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处 $($ ． （A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导但 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 （D）可导且 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\varphi(0)=0$，求$\displaystyle \lim_{x\to0}\varphi(x)=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\int_0^x t f(t)dt$，由洛必达法则，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x f(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2}=\frac{f(0)}{2}=0$，故$\varphi(x)$在$x=0$连续。 步骤2：求$\displaystyle \varphi'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}\int_0^x t f(t)dt$，洛必达得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x f(x)}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{3x}=\frac{f'(0)}{3}$（由$f(0)=0$及可导），故可导。 步骤3：当$x\neq0$时，$\displaystyle \varphi'(x)=\frac{x^2\cdot x f(x) - 2x\int_0^x t f(t)dt}{x^4}=\frac{x f(x)}{x^2} - \frac{2}{x^3}\int_0^x t f(t)dt$，求$\displaystyle \lim_{x\to0}\varphi'(x)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} - 2\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}\int_0^x t f(t)dt = f'(0) - 2\cdot\frac{f'(0)}{3} = \frac{f'(0)}{3} = \varphi'(0)$，故$\varphi'(x)$在$x=0$连续。 **难度**：★★★★☆