kaoyan1basic 高等数学 第13题

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📝 题目

### 【强化篇】第13题（解答题） 13．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ **解析**：步骤1：利用有理函数积分，设$\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$。 步骤2：通分得$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1)$，令$x=-1$得$1=A(1+1)=2A$，$\displaystyle A=\frac12$。 步骤3：比较系数：$x^2$项：$0=A+B$，得$\displaystyle B=-\frac12$；常数项：$1=A+C$，得$\displaystyle C=\frac12$。 步骤4：原积分$\displaystyle =\int_0^1 [\frac{1/2}{x+1} + \frac{-\frac12 x + \frac12}{x^2+1}]dx = \frac12\int_0^1 \frac{dx}{x+1} - \frac12\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}dx + \frac12\int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$。 步骤5：计算：$\displaystyle \frac12[\ln(x+1)]_0^1 = \frac12\ln2$；$\displaystyle -\frac12\cdot\frac12[\ln(x^2+1)]_0^1 = -\frac14\ln2$；$\displaystyle \frac12[\arctan x]_0^1 = \frac12\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$。 步骤6：总和$\displaystyle =\frac12\ln2 - \frac14\ln2 + \frac{\pi}{8} = \frac14\ln2 + \frac{\pi}{8}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将被积函数分解为部分分式之和
设 $\frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$，然后通分并比较分子。
公式：$\frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
提示：有理函数积分通常先进行部分分式分解。
步骤 2/5
目标：求解待定系数 A, B, C
通分得 $1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1)$。令 $x=-1$ 得 $1 = A(2)$，所以 $A = \frac12$。比较 $x^2$ 项系数：$0 = A + B$，得 $B = -\frac12$。比较常数项：$1 = A + C$，得 $C = \frac12$。
公式：$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1)$
提示：代入特殊值或比较系数是求待定系数的常用方法。
步骤 3/5
目标：将积分分解为三个简单积分之和
原积分 $= \int_0^1 \left[ \frac{1/2}{x+1} + \frac{-\frac12 x + \frac12}{x^2+1} \right] dx = \frac12 \int_0^1 \frac{dx}{x+1} - \frac12 \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx + \frac12 \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$。
公式：$\int \frac{dx}{x+1} = \ln|x+1|$, $\int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac12 \ln(x^2+1)$, $\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x$
提示：注意每个积分的基本公式。
步骤 4/5
目标：分别计算三个定积分
计算：$\frac12 \int_0^1 \frac{dx}{x+1} = \frac12 [\ln(x+1)]_0^1 = \frac12 \ln 2$；$-\frac12 \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx = -\frac12 \cdot \frac12 [\ln(x^2+1)]_0^1 = -\frac14 \ln 2$；$\frac12 \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1} = \frac12 [\arctan x]_0^1 = \frac12 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$。
公式：$\int_0^1 \frac{dx}{x+1} = \ln 2$, $\int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx = \frac12 \ln 2$, $\int_0^1 \frac{dx}{x^2+1} = \frac{\pi}{4}$
提示：代入上下限时注意计算准确。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终答案
总和 $= \frac12 \ln 2 - \frac14 \ln 2 + \frac{\pi}{8} = \frac14 \ln 2 + \frac{\pi}{8}$。
提示：注意答案与标准答案一致，但标准答案中 $\frac14 \ln 2$ 可能被省略？实际上题目答案只给了 $\frac{\pi}{8}$，但解析中出现了 $\frac14 \ln 2$，可能是题目答案有误？此处按解析给出。

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