kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．若连续周期函数 $y=f(x)$（不恒为常数），对任何 $x$ 恒有 $\int_{-1}^{x+6} f(t) \mathrm{d} t+\int_{x-3}^{4} f(t) \mathrm{d} t=14$ 成：则 $f(x)$ 的周期是 ． （A） 7 （B） 8 （C） 9 （D） 10
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：设$f(x)$周期为$T$，则$\int_a^{a+T} f(t)dt$为常数。 步骤2：已知$\int_{-1}^{x+6} f(t)dt + \int_{x-3}^4 f(t)dt = 14$对一切$x$成立。 步骤3：两边对$x$求导，得$f(x+6) + f(x-3) = 0$，即$f(x+6) = -f(x-3)$。 步骤4：令$u=x-3$，则$f(u+9) = -f(u)$，所以$f(u+18) = -f(u+9) = f(u)$，故周期为18。但选项无18，检查。 步骤5：由$f(x+6) = -f(x-3)$，令$x=0$得$f(6) = -f(-3)$，周期函数性质。 步骤6：再令$x=3$得$f(9) = -f(0)$，令$x=6$得$f(12) = -f(3)$，等等。 步骤7：由$f(x+9) = -f(x)$，则$f(x+18)=f(x)$，周期为18，但选项最大10，可能周期为9？因为$f(x+9) = -f(x)$，若$f$不恒为常数，则周期不能是9，因为$f(x+9)=-f(x)$，若周期为9则$f(x+9)=f(x)$，得$f(x)=-f(x)$，$f(x)=0$矛盾。 步骤8：重新审视：原式对$x$恒成立，取$x$和$x+3$相减，得$\int_{x+3}^{x+9} f(t)dt = 0$，故周期为9？ **难度**：★★★★☆