kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．议 $F(x)>0$ 为 $\mathbf{R}$ 上的连续可导函数，$F(0)=\sqrt{\pi}$ ，且 $\displaystyle F(x) F^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{2 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x}$ 。求 $F(x)$ ，
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle F(x)=\sqrt{\pi + \arctan(\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x})}$ 或 $F(x)=\sqrt{\pi + \arctan(\sin 2x)}$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle F(x)F'(x)=\frac{\cos x}{2\sin^2 x+\cos^2 x}$，得$\displaystyle \frac12\frac{d}{dx}[F^2(x)] = \frac{\cos x}{2\sin^2 x+\cos^2 x}$。 步骤2：积分得$\displaystyle \frac12 F^2(x) = \int \frac{\cos x}{2\sin^2 x+\cos^2 x} dx + C$。 步骤3：分母$2\sin^2 x+\cos^2 x = 2\sin^2 x + (1-\sin^2 x) = 1+\sin^2 x$，故$\displaystyle \int \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} dx$。 步骤4：令$u=\sin x$，$du=\cos x dx$，得$\displaystyle \int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C = \arctan(\sin x) + C$。 步骤5：所以$\displaystyle \frac12 F^2(x) = \arctan(\sin x) + C$，由$F(0)=\sqrt{\pi}$，得$\displaystyle \frac12 \pi = \arctan 0 + C = C$，故$\displaystyle C=\frac{\pi}{2}$。 步骤6：$F^2(x) = 2\arctan(\sin x) + \pi$，故$F(x)=\sqrt{\pi + 2\arctan(\sin x)}$。 **难度**：★★★☆☆