kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上是连续的偶函数，$a>0, g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| \circ f(t) \mathrm{d} t$ ，则在 $[-a, a]$ ）． （A）$g(x)$ 是单调递增函数 （B）$g(x)$ 是单调递减函数 （C）$g(x)$ 是偶函数 （D）$g(x)$ 是奇函数
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$g(x)=\int_{-a}^a |x-t| f(t) dt$，其中$f(t)$为偶函数。 步骤2：考虑$g(-x)=\int_{-a}^a |-x-t| f(t) dt = \int_{-a}^a |x+t| f(t) dt$，令$u=-t$，则$dt=-du$，当$t=-a$时$u=a$，$t=a$时$u=-a$，$g(-x)=\int_a^{-a} |x-u| f(-u) (-du) = \int_{-a}^a |x-u| f(u) du = g(x)$，故$g(x)$为偶函数。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出g(x)的表达式
由题设，g(x)=∫_{-a}^a |x-t| f(t) dt，其中f(t)为偶函数。
公式：g(x)=∫_{-a}^a |x-t| f(t) dt
提示：注意积分区间对称，被积函数含绝对值。
步骤 2/3
目标：计算g(-x)并化简
g(-x)=∫_{-a}^a |-x-t| f(t) dt = ∫_{-a}^a |x+t| f(t) dt。令u=-t，则dt=-du，积分限变为t=-a时u=a，t=a时u=-a，所以g(-x)=∫_a^{-a} |x-u| f(-u) (-du) = ∫_{-a}^a |x-u| f(-u) du。由于f是偶函数，f(-u)=f(u)，故g(-x)=∫_{-a}^a |x-u| f(u) du = g(x)。
公式：g(-x)=∫_{-a}^a |x+t| f(t) dt，换元u=-t
提示：换元时注意积分限的变化和负号的处理。
步骤 3/3
目标：判断奇偶性
由g(-x)=g(x)可知，g(x)是偶函数。
公式：g(-x)=g(x)
提示：偶函数定义：f(-x)=f(x)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。