kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ ，
💡 答案解析
**答案**：$\pi$ **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，积分限$t$从$0$到$1$，原积分化为 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin t}{t\sqrt{1-t^2}} \cdot 2t\mathrm{d}t = 2\int_{0}^{1} \frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t$。 步骤2：令$u=\arcsin t$，则$\displaystyle \mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}$，$u$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，积分化为 $\displaystyle 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u\mathrm{d}u = 2\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2}{4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简被积函数，消除根号
令 t = √x，则 x = t²，dx = 2t dt，积分限 t 从 0 到 1。原积分化为 ∫₀¹ (arcsin t)/(t√(1-t²)) * 2t dt = 2∫₀¹ (arcsin t)/√(1-t²) dt。
公式：t = √x, dx = 2t dt
提示：注意根号下 x(1-x) 变为 t√(1-t²)，与分子中的 t 约去。
步骤 2/2
目标：利用换元法将积分转化为简单形式
令 u = arcsin t，则 du = dt/√(1-t²)，u 从 0 到 π/2。积分化为 2∫₀^{π/2} u du = 2 * (1/2) * (π/2)² = π²/4。
公式：u = arcsin t, du = dt/√(1-t²)
提示：注意换元后积分限的变化。
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