kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．若 $F(x)=\int_{-\pi}^{\pi}|x-t| \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F^{\prime}(0)=$ ． （A）-4 （B）-2 （C） 2 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$F(x)=\int_{-\pi}^{\pi}|x-t|\sin t\mathrm{d}t$，利用含参积分求导公式。当$x$在$(-\pi,\pi)$内时， $F'(x)=\int_{-\pi}^{x}\sin t\mathrm{d}t - \int_{x}^{\pi}\sin t\mathrm{d}t$。 步骤2：计算得$F'(x)=[-\cos t]_{-\pi}^{x} - [-\cos t]_{x}^{\pi}=(-\cos x + \cos(-\pi)) - (-\cos\pi + \cos x)=(-\cos x -1) - (1+\cos x)=-2\cos x -2$。 步骤3：代入$x=0$得$F'(0)=-2\cdot1-2=-4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出含参积分求导公式
由于被积函数含有绝对值，需要分段处理。当x在(-π, π)内时，将积分区间按x分为两段：F(x)=∫_{-π}^{x} (x-t) sin t dt + ∫_{x}^{π} (t-x) sin t dt。利用含参积分求导公式，对x求导得F'(x)=∫_{-π}^{x} sin t dt + (x-x)sin x * 1 - ∫_{x}^{π} sin t dt + (x-x)sin x * 1 = ∫_{-π}^{x} sin t dt - ∫_{x}^{π} sin t dt。
公式：F'(x)=∫_{-π}^{x} sin t dt - ∫_{x}^{π} sin t dt
提示：注意绝对值处理时，导数公式中边界项抵消。
步骤 2/3
目标：计算积分
计算两个定积分：∫_{-π}^{x} sin t dt = [-cos t]_{-π}^{x} = -cos x - (-cos(-π)) = -cos x - (-(-1)) = -cos x - 1；∫_{x}^{π} sin t dt = [-cos t]_{x}^{π} = -cos π - (-cos x) = -(-1) + cos x = 1 + cos x。因此F'(x)=(-cos x - 1) - (1 + cos x) = -2cos x - 2。
公式：F'(x) = -2cos x - 2
提示：注意cos(-π)=cosπ=-1。
步骤 3/3
目标：代入x=0求值
将x=0代入F'(x)得F'(0)=-2cos0 - 2 = -2*1 - 2 = -4。
公式：F'(0) = -4
提示：cos0=1。
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