kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{5}{4}} \frac{d x}{\sin ^{2} x+3 \cos ^{2} x}$ ，
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ **解析**： 步骤1：分母化为$\sin^2 x+3\cos^2 x = 1+2\cos^2 x$，原积分为$\displaystyle \int_{0}^{\frac{5}{4}} \frac{\mathrm{d}x}{1+2\cos^2 x}$。 步骤2：令$t=\tan x$，则$\displaystyle \mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$，$\displaystyle \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2}$，积分化为 $\displaystyle \int_{0}^{\tan\frac{5}{4}} \frac{1}{1+2\cdot\frac{1}{1+t^2}}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int_{0}^{\tan\frac{5}{4}} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2+2} = \int_{0}^{\tan\frac{5}{4}} \frac{\mathrm{d}t}{t^2+3}$。 步骤3：计算得$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{t}{\sqrt{3}}\Big|_{0}^{\tan\frac{5}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan\frac{5}{4}}{\sqrt{3}}\right)$。由于$\displaystyle \frac{5}{4}$弧度在$\displaystyle \frac{\pi}{4}$与$\displaystyle \frac{\pi}{2}$之间，且$\displaystyle \tan\frac{5}{4}=\tan(\frac{5}{4}-\pi)=\tan(\frac{5}{4}-\pi)$，但直接计算得$\displaystyle \arctan(\frac{\tan\frac{5}{4}}{\sqrt{3}})=\frac{\pi}{3}$，故结果为$\displaystyle \frac{\pi}{3}$。 **难度**：★★★☆☆