kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $n$ 为非负整数，则 $\int_{0}^{1} x^{2} \ln ^{n} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}}$ **解析**： 步骤1：令$t=-\ln x$，则$x=e^{-t}$，$\mathrm{d}x=-e^{-t}\mathrm{d}t$，$x$从$0$到$1$对应$t$从$+\infty$到$0$，积分化为 $\int_{+\infty}^{0} e^{-2t} \ln^n(e^{-t}) \cdot (-e^{-t})\mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} e^{-3t} (-t)^n \mathrm{d}t = (-1)^n \int_{0}^{+\infty} t^n e^{-3t}\mathrm{d}t$。 步骤2：$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^n e^{-3t}\mathrm{d}t = \frac{n!}{3^{n+1}}$，故原式$\displaystyle =(-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：进行变量代换，将积分转化为Gamma函数形式
令 t = -ln x，则 x = e^{-t}，dx = -e^{-t} dt。当 x 从 0 到 1 时，t 从 +∞ 到 0。代入原积分得：∫_{0}^{1} x^2 ln^n x dx = ∫_{+∞}^{0} e^{-2t} ln^n(e^{-t}) (-e^{-t}) dt = ∫_{0}^{+∞} e^{-3t} (-t)^n dt = (-1)^n ∫_{0}^{+∞} t^n e^{-3t} dt。
公式：x = e^{-t}, dx = -e^{-t} dt, ln x = -t
提示：注意积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 2/2
目标：利用Gamma函数计算积分
由Gamma函数定义，∫_{0}^{+∞} t^n e^{-3t} dt = Γ(n+1)/3^{n+1} = n!/3^{n+1}。因此原积分 = (-1)^n * n! / 3^{n+1}。
公式：∫_{0}^{+∞} t^n e^{-at} dt = n!/a^{n+1} (a>0)
提示：Gamma函数性质：Γ(n+1)=n!，注意a=3。
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