kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（填空题） 19．设连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{x}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e-1$ **解析**： 步骤1：由$\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t = x e^{x}$，两边求导得$f(x)=e^{x}+x e^{x}=(1+x)e^{x}$。 步骤2：令$u=\ln x$，则$x=e^{u}$，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{x}=\mathrm{d}u$，积分限$x$从$1$到$e$对应$u$从$0$到$1$， $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(\ln x)}{x}\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} f(u)\mathrm{d}u = \int_{0}^{1} (1+u)e^{u}\mathrm{d}u$。 步骤3：计算得$\int_{0}^{1}(1+u)e^{u}\mathrm{d}u = (1+u)e^{u}\big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^{u}\mathrm{d}u = (2e-1) - (e-1)=e$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求f(x)表达式
对等式两边求导，得f(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x
公式：d/dx ∫_0^x f(t)dt = f(x)
提示：注意变上限积分求导公式
步骤 2/3
目标：换元化简积分
令u=ln x，则x=e^u，dx/x=du，积分限x:1→e对应u:0→1，原积分化为∫_0^1 f(u)du
公式：u=ln x, du=dx/x
提示：换元时注意积分限变换
步骤 3/3
目标：计算积分
∫_0^1 (1+u)e^u du = (1+u)e^u|_0^1 - ∫_0^1 e^u du = (2e-1) - (e-1) = e
公式：分部积分公式∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分时选择u=1+u, dv=e^u du
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