kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x)=\int_{0}^{1} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)=(\quad)$ ． （A）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （C）$-\pi$ （D）$\pi$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\ln\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}y$。 步骤2：$\displaystyle f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(y^2)\mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\ln y\mathrm{d}y = -1$。 步骤3：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}y$，求导得$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y = x\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}y}{x^2+y^2} = x\cdot\frac{1}{x}\arctan\frac{y}{x}\Big|_{0}^{1} = \arctan\frac{1}{x}$，故$\displaystyle f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$。但选项为$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$，注意$f(0)$计算：$\int_{0}^{1}\ln y^2\mathrm{d}y = 2\int_{0}^{1}\ln y\mathrm{d}y = -2$，故$f(0)=-1$，而$f(x)$在$x=0$处导数应为$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)+1}{x}$，用洛必达得$\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)=\frac{\pi}{2}$，但右导数为正，选项A为负，可能符号有误。重新：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}y$，$\displaystyle f'(x)=\int_{0}^{1}\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y = \arctan\frac{1}{x}$，当$x\to0^+$时，$\displaystyle \arctan\frac{1}{x}\to\frac{\pi}{2}$，故$\displaystyle f_+'(0)=\frac{\pi}{2}$，对应选项B。 **难度**：★★★☆☆