kaoyan2advanced 高等数学 第123题

教材习题

📝 题目

### 第123题

设在区间 $[-1,1]$ 上，$|f(x)| \leqslant x^{2}, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，记 $I=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$I=0$ ． （B）$I>0$ ． （C）$I<0$ ． （D）$I$ 的正负不确定．

设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{1+x^{4}}+x^{8}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left[\sin ^{8} x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{4} x+\right. \left.\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{-x} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ，则有

💡 答案解析

**答案**：B **解析**： 步骤1：由$|f(x)|\leq x^2$得$f(0)=0$，且$f(x)\geq -x^2$。 步骤2：由$f''(x)>0$知$f$是凸函数，且$f(0)=0$，故$f(x)\geq 0$（凸函数在端点最小值？需分析：$f''>0$，$f$为凸，$f(0)=0$，且$f(x)\geq -x^2$，但凸性不能直接得非负）。 步骤3：考虑$f(x)$在$[-1,1]$上凸，且$f(0)=0$，若$f$在某点负，则凸性会导致更负，但由$|f(x)|\leq x^2$，$f(x)$不能太负。实际上，由$f''>0$，$f$为凸，$f(0)=0$，则$f(x)\geq f'(0)x$，但$f'(0)$未知。 步骤4：利用$|f(x)|\leq x^2$，$f(x)\geq -x^2$，则$\displaystyle I=\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x \geq \int_{-1}^1 (-x^2)\mathrm{d}x = -\frac{2}{3}$，不能确定正负。 步骤5：重新审视：$f''>0$，$f$凸，且$f(0)=0$，若$f$为偶函数则$I>0$，但题目未给奇偶性。实际上，由$|f(x)|\leq x^2$，$f(x)$在0附近被$x^2$控制，凸性结合$f(0)=0$，可证$f(x)\geq 0$（反证：若存在$x_0$使$f(x_0)<0$，由凸性，$f$在区间内下凸，但$f(0)=0$，则$f$在0附近会大于线性函数，与$|f(x)|\leq x^2$矛盾）。故$f(x)\geq 0$，且不恒为0，所以$I>0$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：利用条件 $|f(x)| \leq x^2$ 推出 $f(0)=0$
由 $|f(x)| \leq x^2$，令 $x=0$ 得 $|f(0)| \leq 0$，故 $f(0)=0$。
提示：注意绝对值不等式取等条件
步骤 2/5
目标：由 $f''(x)>0$ 知 $f$ 为凸函数
$f''(x)>0$ 表明 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是严格凸函数，即对任意 $x_1 \neq x_2$ 和 $\lambda \in (0,1)$，有 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) < \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$。
公式：$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) < \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$$
提示：凸函数定义中严格不等号易忽略
步骤 3/5
目标：反证法证明 $f(x) \geq 0$ 在 $[-1,1]$ 上成立
假设存在 $x_0 \in [-1,1]$ 使得 $f(x_0) < 0$。由于 $f(0)=0$，由凸性，连接 $(0, f(0))$ 和 $(x_0, f(x_0))$ 的线段在 $f$ 图像上方，即对 $t \in (0,1)$，有 $f(t x_0) \leq t f(x_0) + (1-t) f(0) = t f(x_0) < 0$。特别地，取 $t$ 充分小使得 $|t x_0|$ 很小，则 $f(t x_0) < 0$，但由 $|f(x)| \leq x^2$ 得 $|f(t x_0)| \leq (t x_0)^2$，即 $f(t x_0) \geq -(t x_0)^2$。当 $t$ 充分小时，$t f(x_0)$ 是 $O(t)$ 量级，而 $-(t x_0)^2$ 是 $O(t^2)$ 量级，因此存在足够小的 $t$ 使得 $t f(x_0) < -(t x_0)^2$，这与 $f(t x_0) \geq -(t x_0)^2$ 矛盾。故假设不成立，所以 $f(x) \geq 0$ 对所有 $x \in [-1,1]$ 成立。
提示：注意凸性不等式的方向
步骤 4/5
目标：判断 $f(x)$ 不恒为零
若 $f(x) \equiv 0$，则 $f''(x)=0$，与 $f''(x)>0$ 矛盾。因此存在 $x_1 \in [-1,1]$ 使得 $f(x_1) > 0$。
提示：注意反证法：假设恒为零与严格凸矛盾
步骤 5/5
目标：计算积分 $I$ 的正负
由于 $f(x) \geq 0$ 且不恒为零，在 $[-1,1]$ 上连续，故 $I = \int_{-1}^1 f(x) \, dx > 0$。
提示：注意f(x)非负且不恒为零，积分必正

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