高等数学

共 224 道题目

1 📝 有解析

### 第1题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建放荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}

2 📝 有解析

### 第2题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$。$ 建设荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}

3 📝 有解析

### 第3题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

4 📝 有解析

### 第4题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})=$ $\_\_\_\_$ ．

5 📝 有解析

### 第5题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^{2}\right)+\ln \left(1-x+x^{2}\right)}{\sec x-\cos x}=$ $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

### 第6题设 $f(x)$ 非负连续，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\ln (1+x)} t f(t) \mathrm{d} t}{\left[\int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \mathrm{d} t\right]^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

7 📝 有解析

### 第7题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

### 第8题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cot ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 第9题已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^{4}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$ ．建议荅题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ $\_\_\_\_$ ．

11 📝 有解析

### 第11题 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

12 📝 有解析

### 第12题设当 $0

13 📝 有解析

### 第13题 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}+\cdots+\frac{n}{n+n}\right) \sin \frac{\pi}{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

14 📝 有解析

### 第14题设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\arctan \frac{x}{2}}{1-\mathrm{e}^{\sin x}}, & x>0, \\ a \mathrm{e}^{2 x}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．建议签题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

15 📝 有解析

### 第15题当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left[\frac{\mathrm{e}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}\right]^{x}-\sqrt{\mathrm{e}}$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．建放谷题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

16 📝 有解析

### 第16题 $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$ $$ $\_\_\_\_$ ．

17 📝 有解析

### 第17题已知函数 $y=f(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{y}+6 x y+x^{2}=1$ 所确定，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．锦估

18 📝 有解析

### 第18题设 $y=y(x)$ 由 $x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

19 📝 有解析

### 第19题设函数 $y=\ln (x+3)$ ，则 $y^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$。建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

20 📝 有解析

### 第20题 20设 $f^{\prime \prime}(a)$ 存在，$f^{\prime}(a) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{1}{f^{\prime}(a)(x-a)}-\frac{1}{f(x)-f(a)}\right]=$ $\_\_\_\_$。

21 📝 有解析

### 第21题已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\ln x$ 相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．

22 📝 有解析

### 第22题已知任意 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1-\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．锌佔

23 📝 有解析

### 第23题已知 $f(x)=x^{3} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

24 📝 有解析

### 第24题曲线 $y=x+\sqrt{x^{2}-x+1}$ 的斜渐近线方程为 $y=$ $\_\_\_\_$ －公众号：旗胜考研

25 📝 有解析

### 第25题设曲线 $L$ 的参数方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x(t)=\ln \tan \frac{t}{2}+\cos t, \\ y(t)=\sin t,\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \frac{\pi}{2}

26 📝 有解析

### 第26题曲线 $y+x y-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}=0$ 在点 $(0, y(0))$ 处的曲率为 $\_\_\_\_$ ．

27 📝 有解析

### 第27题曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$ 上对应于 $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$ 点处的曲率 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

28 📝 有解析

### 第28题设有底面半径为 $r$ ，高为 $h$ 的正圆柱体，记其表面积为 $S$ ．当该圆柱体的底面半径 $r$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，高 $h$ 以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度同时均匀增长，则在 $r=4 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}$ 时，圆柱体表面积 $S$ 增长的速度为 $\_\_\_\_$ ．

29 📝 有解析

### 第29题曲线 $x^{3}+y^{3}=y^{2}$ 的斜渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

30 📝 有解析

### 第30题数列 $\displaystyle \left\{\frac{(1+n)^{3}}{(1-n)^{2}}\right\}$ 的最小项的项数 $n=$ $\_\_\_\_$ ，且该项的数值为 $\_\_\_\_$ ．建设荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 神佔

31 📝 有解析

### 第31题 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \arctan n \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建设荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}

32 📝 有解析

### 第32题 $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1-x^{2}\right)}{2 x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建议器题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}

33 📝 有解析

### 第33题已知 $y^{\prime}(x)=\cos (1-x)^{2}$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．建议答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

34 📝 有解析

### 第34题设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，$f(1)=0$ ，且满足 $$ x(x+1) f^{\prime}(x)-(x+1) f(x)+\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x-1 $$ 则 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x-3 f(2)+\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_{1}^{x} \frac{\sin (t-1)^{2}}{t-1} \mathrm{~d} t}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$ ．

35 📝 有解析

### 第35题 $\displaystyle \int \frac{1}{\cos ^{2} x \sin ^{4} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建衩谷题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}

36 📝 有解析

### 第36题 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{\ln n}=$ $\_\_\_\_$ ．$ 评佔$

37 📝 有解析

### 第37题设 $x=2 \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-s^{2}} \mathrm{~d} s, y=\int_{0}^{t} \sin (t-s)^{2} \mathrm{~d} s$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\sqrt{\pi}}=$ $\_\_\_\_$ ．建㓪答题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 体佔 s내错区域（b）纵错

38 📝 有解析

### 第38题已知曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\sin 2 x$ 在原点处相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{0}\left[\int_{0}^{t} f(t-u) \mathrm{d} u\right] \mathrm{d} t}{\sin ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．

39 📝 有解析

### 第39题设 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t-x) \mathrm{d} t=-\frac{x^{2}}{2}+\mathrm{e}^{-x}-1$ ，则曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线方程为 $\_\_\_\_$。

40 📝 有解析

### 第40题设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

41 📝 有解析

### 第41题 I=$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\left(1+x^{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

42 📝 有解析

### 第42题 $$ $\int_{0}^{2 \pi}\left|\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right| \mathrm{d} x=$ $$ $\_\_\_\_$ ． ##

43 📝 有解析

### 第43题已知 $f^{\prime}(x) \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8$ ，且 $f(0)=0, f(x) \geqslant 0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

44 📝 有解析

### 第44题 $$ $\displaystyle \int_{2}^{4} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{\left|x^{2}-9\right|}}=$ $$ $\_\_\_\_$ ．

45 📝 有解析

### 第45题若函数 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0$ ，其中 $a=2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x, f(0)=\alpha, f^{\prime}(0)=\beta$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ 建议荅题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

46 📝 有解析

### 第46题 46曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ 与其渐近线围成的区域绕其渐近线旋转所得旋转体体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．㸷估

47 📝 有解析

### 第47题设 $y=f(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的正值函数，且对于任意的 $a>0, x=0, x=a$ ， $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周与绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积相同，则 $y=f(x)$ 与 $y=x^{3}$ 所围成的图形面积为 $\_\_\_\_$ ．

48 📝 有解析

### 第48题已知曲线 $y=x \mathrm{e}^{x}$ ，直线 $x=a(a>0)$ 与 $x$ 轴所围平面图形的面积为 1 ，则由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$ ．建放答题时日

49 📝 有解析

### 第49题曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ． □ 纠陽箇记

50 📝 有解析

### 第50题有一容器，其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x \geqslant 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成，容器底部（原点处）开有一小孔，设小孔的面积为 $S$（单位： $\mathrm{m}^{2}$ ）．已知液体从容器底部流出的速率 $v= k \sqrt{2 g h}$（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），其中 $g$ 为重力加速度（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$ ），$h$ 为小孔上方的液面高度（单位： m ），$k$为大于 0 的常数．若液面高度以 $l \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速率匀速下降，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。建设容题时间

51 📝 有解析

### 第51题已知 $\displaystyle z=\left(x^{2} \sin y^{5}+x^{3}\right)\left(2 x^{3}+\tan y^{4}\right) x^{\frac{y^{3}}{x^{3}}+e^{x^{5} y^{6}}},\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

52 📝 有解析

### 第52题 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建议荅题时问$

53 📝 有解析

### 第53题设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有定义，且 $$ $\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+o(\rho),$ $$ 其中 $\rho=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}-x, y_{0}\right)}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

54 📝 有解析

### 第54题二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 $\mathrm{d} f(0,0)=$ $\_\_\_\_$ ．建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

55 📝 有解析

### 第55题设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ，则 $2 f_{x}^{\prime}(0,0)+ f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$。

56 📝 有解析

### 第56题函数 $f(x, y)$ 满足 $f(1,1)=0$ ，且 $f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x-2 x y^{2}, f_{y}^{\prime}(x, y)=4 y-2 x^{2} y$ ，则函数 $f(x, y)$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．

57 📝 有解析

### 第57题函数 $z=x^{2}+y^{2}-x y$ 在区域 $|x|+|y| \leqslant 1$ 上的最大值为 $\_\_\_\_$ ．设 $z(x, y)=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} t \int_{t}^{x} f(t+y) g(y u) \mathrm{d} u$ ，其中 $f$ 连续，$g$ 有连续的一阶导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ 建议答题时问

59 📝 有解析

### 第59题设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=f\left(x^{2}+y^{2}\right)+f(x+y)$ 所确定，且 $y(0)=2$ ，其中 $f(u)$具有连续的导数，$\displaystyle f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．

60 📝 有解析

### 第60题设 $f(x, y)$ 可微，且满足条件 $\displaystyle \frac{f_{y}^{\prime}(0, y)}{f(0, y)}=\cot y, \frac{\partial f}{\partial x}=-f(x, y), f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)=1$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．建设荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

61 📝 有解析

### 第61题设 $u=f(x, y, z), z=z(x, y)$ 是由方程 $\varphi(x+y, z)=1$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 和 $\varphi$ 有二阶连续偏导数且 $\varphi_{2}^{\prime} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

62 📝 有解析

### 第62题设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x+y+z)$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 二阶可微，$f^{\prime} \neq$ 1 ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

63 📝 有解析

### 第63题 D$ 是由直线 $y=x, y=\pi, x=0$ 所围成的平面区域，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{\pi-x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．$

64 📝 有解析

### 第64题 D$ 为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆与 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 的下半圆所围成的区域，则二重积分 $I= \iint_{D}\left(\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}-x^{7} \cos ^{4} y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．$

65 📝 有解析

### 第65题设 $a>0, f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 表示全平面，则 $\iint_{D} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。建议答题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$

66 📝 有解析

### 第66题 $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{|x|}^{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{3}+1\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

67 📝 有解析

### 第67题设 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 所确定的平面区域，则 $\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． ## 衡题
区域

68 📝 有解析

### 第68题极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\int_{1}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{2}{n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{n-1}{n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)=$ $\_\_\_\_$ －公众号：旗胜考研还可以 □有点难

69 📝 有解析

### 第69题区域 $D$ 为 $y=x^{5}, y=1, x=-1$ 所围成的平面区域，$f$ 连续，则积分 $I= \iint_{D} x\left[1+\sin y^{3} f\left(x^{4}+y^{4}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 䇾題区域

70 📝 有解析

### 第70题 70设函数 $f(x, y)$ 连续，交换累次积分 $I=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序为建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

71 📝 有解析

### 第71题微分方程 $y^{\prime \prime}+y=2 \mathrm{e}^{x}+4 \sin x$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$。建放签题时风 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 种估熟练 $]$ 还可以 $]$ 有点难 $[$ 不会！

72 📝 有解析

### 第72题 x y^{\prime}=y($\ln y-\ln x)$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$ 建设荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 铼估$

73 📝 有解析

### 第73题 $\displaystyle \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$ 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}

74 📝 有解析

### 第74题 $\displaystyle 74(x+y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y+1=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

75 📝 有解析

### 第75题 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=$\mathrm{e}^{-3 x}$ 的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．

76 📝 有解析

### 第76题设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+x^{2} y=\mathrm{e}^{x}$ 且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)-x}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

77 📝 有解析

### 第77题设 $y=\left(C_{1}+x\right) \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}$ 是 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=g \mathrm{e}^{a x}$ 的通解，则常数 $a, b, c, g$ 分别是 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ．建议器题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

78 📝 有解析

### 第78题方程 $y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{x}+4 \cos x$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．锷估熟䋘 793 阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．

80 📝 有解析

### 第80题某地区的人口增长速度与当前该地区的人口成正比．若两年后，人口增加一倍；三年后，人口是 20000 人，则该地区最初的人口数约为 $\_\_\_\_$。 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ ## 诜择题 ## 选择题

81 📝 有解析

### 第81题设定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图形关于 $x=0$ 与 $x=1$ 均对称，则下列命题中，正确命题为（1）若 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（2）若 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（3） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（4） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{2} \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（A）（2）（3）．（B）（2）（4）．（C）（1）（2）（3）．（D）（1）（2）（4）．

82 📝 有解析

### 第82题 82设函数 $\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则函数 $f(\varphi(x))$ 在 $x=0$ 处（A）不连续．（B）连续但不可导．（C）可导且导数为 0 ．（D）可导且导数不为 0 ．建议谷题时吅

83 📝 有解析

### 第83题设 $\displaystyle \alpha_{1}=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}, \alpha_{2}=\int_{0}^{x^{4}} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d} t, \alpha_{3}=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u^{2}} \arctan t \mathrm{~d} t$ ．当 $x$ → 0 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的顺序是（A）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．（B）$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{2}$ ．（C）$\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}$ ．（D）$\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ ．

84 📝 有解析

### 第84题 x=0$ 是 $f(x)=\frac{2}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}$ 的（A）跳跃间断点．（B）可去间断点．（C）无穷间断点．（D）振荡间断点．$

85 📝 有解析

### 第85题下列命题（1）设 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续．（2）设 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)\right]=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续．（3）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，$g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必不连续．（4）设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处都不连续，则 $f(x)+g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必不连续．其中正确的命题个数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D）大于等于 3 ．

86 📝 有解析

### 第86题在下列函数中，导数 $f^{\prime}(x)$ 在点 $x=0$ 处不连续的是（A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ （B）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ （D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+x)}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ 建设谷题时间

87 📝 有解析

### 第87题已知 $x=0$ 是函数 $\displaystyle f(x)=\frac{a x-\ln (1+x)}{x+b \sin x}$ 的可去间断点，则常数 $a, b$ 的取值范围是（A）$a=1, b$ 为任意实数．（B）$a \neq 1, b$ 为任意实数．（C）$b=-1, a$ 为任意实数．（D）$b \neq-1, a$ 为任意实数．建议答题时问

88 📝 有解析

### 第88题设 $f(x)$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_{1}^{\frac{1}{x}} f(t x) \mathrm{d} t}{x^{2}-1}=$ （A）1．（B）-1 ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．

89 📝 有解析

### 第89题设 $f(x)$ 是以 4 为周期的连续函数，且 $f^{\prime}(1)=-1, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(5-x)-F^{\prime}(5)}{x}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（B） 0 ．（C）-1 ．（D） 1 ．

90 📝 有解析

### 第90题设 $f(x)$ 有连续导数，$f(0)=0$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{0}^{f(x)} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $x^{2}$ 是等价无穷小，则 $f^{\prime}(0)$等于（A） 0 ．（B） 2 ．（C）$\sqrt{2}$ ．（D）$\sqrt[3]{2}$ ．建议答题时问

91 📝 有解析

### 第91题设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x} g(x), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 在 $x=0$ 的一个邻域内二阶导数存在，且 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=0$ ，则（A）$f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续．（B）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导．（C）$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，但其导函数不连续．（D）$f(x)$ 在 $x=0$ 处导函数连续．

92 📝 有解析

### 第92题设 $\displaystyle x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+4 t^{2}}}$ ，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-4 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}$ 等于（A）0．（B） 1 ．（C）$\displaystyle \frac{4}{1+4 y^{2}}-4 \sqrt{1+4 y^{2}}$ ．（D）-1 ．建议答题时问

93 📝 有解析

### 第93题设有命题（1）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导。（2）若 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导．（3）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，且 $f\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处不可导．（4）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导．则上述命题中正确的个数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．

94 📝 有解析

### 第94题设 $f(x), g(x)$ 定义在 $(-1,1)$ 上，且都在 $x=0$ 处连续，若 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{g(x)}{x}, & x \neq 0, \\ 2, & x=0,\end{array}\right.$ 则（A）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ 。（B）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=1$ ．（C）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=2$ ．（D）$g(0)=1$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ．建设荅题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

95 📝 有解析

### 第95题设严格单调函数 $y=f(x)$ 有二阶连续导数，其反函数为 $x=\varphi(y)$ ，且 $f(1)=2$ ， $f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3$ ，则 $\varphi^{\prime \prime}(2)$ 等于（A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（B）-3 ．（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{3}{8}$ ．

96 📝 有解析

### 第96题若曲线 $y=x^{2}+a x+b$ 与 $2 y=-1+x y^{3}$ 在点 $(1,-1)$ 处相切，则常数 $a, b$ 分别为（A）$a=0, b=-2$ ．（B）$a=1, b=-3$ ．（C）$a=-1, b=-1$ ．（D）$a=-3, b=1$ ．

97 📝 有解析

### 第97题设奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，则（A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点．（B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点．（C）$y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线平行于 $x$ 轴．（D）$y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线不平行于 $x$ 轴．

98 📝 有解析

### 第98题奇函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上可导，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$（ $M$ 为正常数），则必有（A）$|f(x)| \geqslant M$ ．（B）$|f(x)|>M$ ．（C）$|f(x)| \leqslant M$ ．（D）$|f(x)|

99 📝 有解析

### 第99题设非零函数 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}>0$ ，则（A）$f(1)>f(0)$ ．（B）$f(1)1$ ．

100 📝 有解析

### 第100题设 $\displaystyle 0g(x)>h(x)$ ．（B）$h(x)>g(x)>f(x)$ ．（C）$g(x)>f(x)>h(x)$ ．（D）$f(x)>h(x)>g(x)$ ．建设荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 新估 # 无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研无水印笔记书籍资料，【公众号：小盆学长】，回复【PDF】免费获取更多考研资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研无水印笔记书籍资料，【公众号：小盆学长】，回复【PDF】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供

101 📝 有解析

### 第101题下述论断正确的是（A）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，除 $x=0$ 外均可导，且 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是严格单调增加的．（B）设 $f(x)$ 为偶函数且 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．（C）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处二阶导数存在，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．（D）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处三阶导数存在，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x=x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点。

102 📝 有解析

### 第102题设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[f(x+2)+\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}{1-\cos x}=4$ ，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的（A）不可导点．（B）驻点且是极大值点．（C）驻点且是极小值点．（D）可导的点但不是驻点．

103 📝 有解析

### 第103题若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 上的曲率圆为 $x^{2}+y^{2}=2$ ，则 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内（A）有极值点，无零点．（B）无极值点，有零点．（C）有极值点，有零点。（D）无极值点，无零点． ## 建放容题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

104 📝 有解析

### 第104题设函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足 $x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=1-\mathrm{e}^{-x}$ ，若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\left(x_{0}\right. \neq 0$ ），则（A）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．（B）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点．（C）$\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（D）$x_{0}$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．

105 📝 有解析

### 第105题设函数 $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-a$ 恰有两个不同的零点，则 $a$ 可能为（A） 8 ．（B） 6 ．（C） 4 ．（D） 2 ．

106 📝 有解析

### 第106题 $f(x)=-$\cos \pi x+(2 x-3)^{3}+\frac{1}{2}(x-1)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的零点个数$ （A）正好有 1 个．（B）正好有 2 个．（C）正好有 3 个．（D）至少有 4 个．建设谷题时问

107 📝 有解析

### 第107题设函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处二阶导数存在，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则必存在 $\delta>$ 0 ，使得（A）曲线 $y=f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 上是凸的．（B）曲线 $y=f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 上是凹的．（C）函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 严格单调增，在区间 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 严格单调减．（D）函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 严格单调减，在区间 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 严格单调增．

108 📝 有解析

### 第108题函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+2 x-3}{\left(x^{3}-x\right)\left(x^{2}+1\right)}$ 的铅直渐近线个数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．建议答题时问

109 📝 有解析

### 第109题曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{1 / x^{2}} \arctan \frac{x^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线条数为（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

110 📝 有解析

### 第110题曲线 $\displaystyle y=\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}$ 的渐近线的条数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．

111 📝 有解析

### 第111题若 $f(x)$ 的一个原函数为 $\arctan x$ ，则 $\int x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=$ （A） $\arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．（B）$x \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．（C）$\displaystyle -\frac{1}{2} \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．（D）$\displaystyle -\frac{1}{2} x \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．建议荅题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

112 📝 有解析

### 第112题若 $f^{\prime}\left(\sin ^{2} x\right)=\cos ^{2} x$ ，则 $f(x)=$ （A） $\displaystyle \sin x-\frac{1}{2} \sin ^{2} x+C$ ．（B）$\displaystyle x-\frac{1}{2} x^{2}+C$ ．（C） $\cos x-\sin x+C$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2}-x+C$ ．

113 📝 有解析

### 第113题设 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，且 $a \neq 0$ ，则 $\displaystyle \int \frac{f(a x)}{a} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a^{3} x}+C$ ．（B）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a^{2} x}+C$ ．（C）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a x}+C$ ．（D）$\displaystyle \frac{\sin a x}{x}+C$ ．铗估

114 📝 有解析

### 第114题设 $F(x)$ 是函数 $f(x)=\max \left\{x, x^{2}\right\}$ 的一个原函数，则（A）$x=0$ 和 $x=1$ 都是 $F(x)$ 的间断点．（B）$x=0$ 是 $F^{\prime}(x)$ 的间断点．（C）$x=1$ 是 $F^{\prime}(x)$ 的间断点．（D）$F^{\prime}(x)$ 处处连续．

115 📝 有解析

### 第115题下列函数中必为奇函数的是（A） $\int_{a}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．（B） $\int_{0}^{x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t$ ．（C） $\int_{0}^{x} t \ln \left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right) \mathrm{d} t$ ．（D） $\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{y} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} y$ ．建议答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

116 📝 有解析

### 第116题设函数 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中以 $T$ 为周期的函数为（A） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．（B） $\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．（C） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．（D） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．

117 📝 有解析

### 第117题设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数（若下式中用到 $f^{\prime}(x)$ ，则设 $f^{\prime}(x)$ 存在），则以下结论中不正确的是（A）$f^{\prime}(x)$ 必以 $T$ 为周期．（B） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期．（C） $\int_{0}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期．（D） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期．

118 📝 有解析

### 第118题设 $f(x)$ 有连续导数，$f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0 . F(x)=\int_{0}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，且当 $x \rightarrow 0$时，$F^{\prime}(x)$ 与 $x^{k}$ 为同阶无穷小，则 $k$ 等于（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．建议答题时问

120 📝 有解析

### 第120题设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处（A）极限存在但不连续．（B）连续但不可导．（C）可导．（D）是否可导与 $a$ 的取值有关．

121 📝 有解析

### 第121题设 $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right), 0 \leqslant x<1, \\ \frac{1}{3}(x+1), 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内（A）单调增加．（B）有跳跃间断点 $x=1$ ．（C）有可去间断点 $x=1$ ．（D）连续． $\stackrel{\text { si }}{\text { 错荅 }}$ 熟练还可以筆估熟练 $]$ 还可以 $]$ 有点难 $[$ 不会

122 📝 有解析

### 第122题设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，下述 4 个命题（1）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(x)$ 为奇函数．（2）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(x)$ 为偶函数．（3）对任意正常数 $a$ 及常数 $\omega>0, \int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 $\Leftrightarrow f(x)$ 有周期 $\omega$ ．（4） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 对 $x$ 有周期 $\omega \Leftrightarrow \int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．正确的命题个数为（A） 4 ．（B） 3 ．（C） 2 ．（D） 1 ．

123 📝 有解析

### 第123题设在区间 $[-1,1]$ 上，$|f(x)| \leqslant x^{2}, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，记 $I=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则（A）$I=0$ ．（B）$I>0$ ．（C）$I<0$ ．（D）$I$ 的正负不确定．设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{1+x^{4}}+x^{8}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left[\sin ^{8} x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{4} x+\right. \left.\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{-x} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ，则有

125 📝 有解析

### 第125题设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t(x>0)$ ，则 $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 在 $x=2$ 时的函数值为（A）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln ^{2} 2$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln 3$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln ^{2} 3$ ．

126 📝 有解析

### 第126题 f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则（A） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 一定成立．（B） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 不可能成立。（C） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 仅当 $f(x)$ 是单调函数时成立．（D） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 仅当 $f(x)=0$ 时成立。$

127 📝 有解析

### 第127题设 $I_{1}=\int_{0}^{a} x^{3} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{0}^{a^{2}} x f(x) \mathrm{d} x, a>0$ ，则（A） $2 I_{1}=I_{2}$ ．（B）$I_{1}I_{2}$ ．（D）$I_{1}=I_{2}$ ．

128 📝 有解析

### 第128题设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，记 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x, I_{3}= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x$ ，则（A）$I_{1}

129 📝 有解析

### 第129题设 $f^{\prime \prime}(u)$ 连续，已知 $n \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ ，则 $n$ 应是（A）2．（B） 1 ．（C） 4 ．（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

130 📝 有解析

### 第130题下列关于反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)} \mathrm{d} x$ 的结论正确的是（A）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都发散．（B）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都收敛．（C）当且仅当 $\alpha=0$ 时，该反常积分收敛．（D）当且仅当 $\alpha \neq 0$ 时，该反常积分收敛．建议器题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

131 📝 有解析

### 第131题设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可导，且广义积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=$ （A） 1 ．（B） 0 ．（C）$+\infty$ ．（D）-1 ．

132 📝 有解析

### 第132题下列结论中正确的是（A） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都收敛。（B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都发散．（C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散．（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛。建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

133 📝 有解析

### 第133题曲线 $y=2 \sqrt{x-1}(1 \leqslant x \leqslant 2)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为（A）$\displaystyle \frac{4}{3} \pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{8 \pi}{3}(2 \sqrt{2}-1)$ ．（C）$\displaystyle \frac{8 \pi}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{4 \pi}{3}(2 \sqrt{2}-1)$ ．

134 📝 有解析

### 第134题关于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{|x|} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ，下列结论正确的是（A）取值为零．（B）取正值．（C）发散．（D）取负值．建议答题时问

135 📝 有解析

### 第135题如图所示，函数 $f(x)$ 是以 2 为周期的连续周期函数，它在 $[0$ ， 2］上的图形为分段直线，$g(x)$ 是线性函数，则 $\int_{0}^{2} f(g(x)) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（B） 1 ．（C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{3}{2}$ ．

136 📝 有解析

### 第136题已知 $\displaystyle f\left(\frac{1}{y}, \frac{1}{x}\right)=\frac{x y-x^{2}}{x-2 y}$ ，则 $f(x, y)=$ （A）$\displaystyle \frac{x-y}{x y-2 x^{2}}$ ．（B）$\displaystyle \frac{x-y}{x y-2 y^{2}}$ ．（C）$\displaystyle \frac{y-x}{x y-2 x^{2}}$ ．（D）$\displaystyle \frac{y-x}{x y-2 y^{2}}$ ．建议答题对问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

137 📝 有解析

### 第137题设 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则（A）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．（B）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)$ 存在．（D） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 存在． $y \rightarrow y_{0}$

138 📝 有解析

### 第138题设函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，其微分为 $\mathrm{d} z$ ，全增量为 $\Delta z$ ，则（A） $\mathrm{d} z=\Delta z$ ．（B）$\Delta z=f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y$ ．公众号：旗胜考研（C） $\mathrm{d} z=f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y+\alpha\left(\alpha\right.$ 是 $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ 的高阶无穷小）。（D）$\Delta z=\mathrm{d} z+\alpha$（ $\alpha$ 是 $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ 的高阶无穷小）。

139 📝 有解析

### 第139题二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处（A）极限存在但不连续．（B）连续但偏导数不存在．（C）偏导数存在但不可微。（D）可微。

140 📝 有解析

### 第140题 140设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是（A）$\alpha<1$. （B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．

141 📝 有解析

### 第141题 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=0$ ，且当 $x=0$ 时，$z=\sin y ; y=0$ 时，$z=\sin x$ ，则 $z(x, y)=$$ （A） $\sin x$ ．（B） $\sin y$ ．（C） $\sin x+\sin y$ ．（D） $\sin x+\sin y+C$ ．$

142 📝 有解析

### 第142题设函数 $f(x, y)$ 在 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取极大值，且 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}}$ 与 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}}$ 存在，则（A）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0$. （B）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0$. （C）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0$ ．（D）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0$ ．

143 📝 有解析

### 第143题设二元函数 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x \mathrm{e}^{x y}+y z^{2}=y z \sin x+z$ 所确定，则二阶偏导数 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(x, y)=(0,0)}=$ （A）-1 ．（B） 0 ．（C） 1 ．（D） 2 ．

144 📝 有解析

### 第144题已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\mathrm{e}^{(x+y)^{2}}-1}=3$ ，则（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点．（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极小值点．（D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极大值点．

145 📝 有解析

### 第145题设有三元方程 $x y-z \ln y+\mathrm{e}^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$ ．（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ．（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ．（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$ ．

146 📝 有解析

### 第146题已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)-2 x \Delta x+2 y \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$ ， $\Delta y \rightarrow 0$ 且 $f(0,0)=2$ ．则 $f(x, y)$ 在圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值和最小值分别为（A）$-1,0$ ．（B） 0,1 ．（C） 3,2 ．（D） 3,1 ．

147 📝 有解析

### 第147题设积分区域 $D: x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1$ ，其中 $x \geqslant 0 . D_{1}$ 是积分区域 $D$ 在 $y \geqslant 0$ 的部分区域，则（A） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（B） $\iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（C） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（D） $\iint_{D} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

148 📝 有解析

### 第148题 D$ 是由 $y=\ln x, y=0, x=2$ 所围成的区域，则二重积分 $I=\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$-\ln 2$ ．（B）$\frac{1}{\ln 2}$ ．（C） $\ln 2$ ．（D）无法计算．建役荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}

149 📝 有解析

### 第149题设 $D$ 是由直线 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=1$ 所围成，记 $I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma, I_{3}=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 的大小关系为（A）$I_{1}

150 📝 有解析

### 第150题 D: x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ ，则二重积分 $I=\iint_{D}\left(x y^{2}+5 \mathrm{e}^{x} \sin ^{3} y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$\frac{\pi}{2}$ ．（B）$\frac{\pi}{3}$ ．（C）$\frac{\pi}{4}$ ．（D）$\frac{\pi}{5}$ ．建议答题时问$

151 📝 有解析

### 第151题累次积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于（A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（B） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．建议荅题对间 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$

152 📝 有解析

### 第152题设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi \operatorname{tarcsin} y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （B） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi \arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi \arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．

153 📝 有解析

### 第153题设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于（A）$x y$ ．（B） $2 x y$ ．（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．（D）$x y+1$ ．

154 📝 有解析

### 第154题设 $0

155 📝 有解析

### 第155题若已知 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{\pi}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\pi} x f(\sin y) \mathrm{d} y=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．（C）$\displaystyle \frac{4}{\pi^{2}}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}$ ．建议荅题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ ## 解答题

156 📝 有解析

### 第156题设 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（C） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} f(r, \theta) r \mathrm{~d} r$ ．建议答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

157 📝 有解析

### 第157题 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（C） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2 \sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．$

158 📝 有解析

### 第158题微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\cos ^{2} x$ 的特解形式为（其中 $a, b, c$ 为任意常数）（A）$a \cos ^{2} x$. （B）$a \sin ^{2} x$ ．（C）$x(a+b \cos 2 x+c \sin 2 x)$ ．（D）$a+x(b \cos 2 x+c \sin 2 x)$ ．建设签题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

159 📝 有解析

### 第159题设 $p(x), q(x), f(x)$ 均是已知的连续函数，$y_{1}(x), y_{2}(x), y_{3}(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+ q(x) y=f(x)$ 的 3 个线性无关的解，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 为任意常数，则方程的通解为（A）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}+C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{2}\right) y_{3}$. （B）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$ ．（C） $2 C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ．（D）$C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1+C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ．

160 📝 有解析

### 第160题设 $f(x) \not \equiv 0, y_{1}(x)$ 是 $y^{\prime}+p(x) y=f(x)$ 的一个解，$y_{2}(x) \neq 0$ 是对应的齐次方程的一个解，$C$ 是任意常数，则 $y^{\prime}+p(x) y=f(x)$ 的通解为（A）$C y_{1}(x)+y_{2}(x)$ ．（B）$C y_{1}(x)-y_{2}(x)$ ．（C）$y_{1}(x)-C y_{2}(x)$ ．（D）$y_{1}(x)+y_{2}(x)+C$ ． # 无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研无水印笔记书籍资料，【公众号：小盆学长】，回复【PDF】免费获取更多考研资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研无水印笔记书籍资料，【公众号：小盆学长】，回复【PDF】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供

161 📝 有解析

### 第161题设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间 $(0$ ， $+\infty)$ 上有界，则实数 $b$ 的取值范围是（A）$[0,+\infty)$ ．（B）$(-\infty, 0)$ ．（C）$(-\infty, 2)$ ．（D）$(-\infty,+\infty)$ ．

162 📝 有解析

### 第162题设 $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}+a_{1} y^{\prime}+a_{2} y=\mathrm{e}^{x}$ 满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $\left(a_{1}\right.$ ， $a_{2}$ 均为常数），则（A）当 $a_{2}<1$ 时，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点．（B）当 $a_{2}<1$ 时，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点．（C）当 $a_{2}>1$ 时，$x=0$ 不是 $y(x)$ 的极大值点．（D）当 $a_{2}>1$ 时，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点．

163 📝 有解析

### 第163题如果二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 有一个特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ ，则（A）$a=-1, b=1$ ．（B）$a=1, b=-1$ ．（C）$a=2, b=1$ ．（D）$a=2, b=2$ ．建议答题时问

164 📝 有解析

### 第164题已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于（A） $\sin 2 x$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．（C）$\displaystyle \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．（D）$\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．建议荅题时问

165 📝 有解析

### 第165题方程 $y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=y^{2} \ln y(y>0)$ ，满足 $\left.y\right|_{x=0}=\mathrm{e},\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\mathrm{e}$ 的解为（A） $\mathrm{e}^{x+1}$ ．（B）$e^{e^{x}}$ ．（C） $\mathrm{e}^{x}$ ．（D） $2 \mathrm{e}^{x}$ ．

166 📝 有解析

### 第166题微分方程 $x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=4 x$ 的通解为（A）$y=x+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ．（B）$y=x^{3}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ．（C）$y=x^{4}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ．（D）$y=x^{2}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ．建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

167 📝 有解析

### 第167题已知 $y_{1}=x^{2} \mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{2 x}(3 \cos 3 x-2 \sin 3 x)$ 是某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则最小的 $n$ 为（A） 3 ．（B） 4 ．（C） 5 ．（D） 6 ．

168 📝 有解析

### 第168题具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=5 \cos x$ 的 4 阶常系数齐次线性微分方程是（A）$y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ．（B）$y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ．（C）$y^{(4)}+y=0$ ．（D）$y^{(4)}-y=0$ ．科估

169 📝 有解析

### 第169题设连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，点 $P(x, y)$ 为凸弧 $A B$ 上的任意一点．已知凸弧与弦 $A P$ 之间的面积为 $x^{3}$ ，则此凸弧的方程为（A）$y=6 x-5 x^{2}+1$ ．（B）$y=4 x-5 x^{2}+1$ ．（C）$y=5 x-6 x^{2}+1$ ．（D）$y=5 x-4 x^{2}+1$ ．建衩荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

170 📝 有解析

### 第170题设质量为 $m$ 的物体在空气中降落，空气阻力与物体的速度平方成正比，阻尼系数 $k>0$ ，沿垂直地面向下方向取定坐标轴 $x$ ，物体在任意时刻 $t$ 的位置坐标为 $x=x(t)$ ，则物体的速度 $v(t)$ 所满足的微分方程为（A）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v^{2}$ ．（B）$\displaystyle m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v^{2}$ ．（C）$\displaystyle m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}=m-k v^{2}$ ．（D）$\displaystyle m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v$ ． ## 解答题

171 📝 有解析

### 第171题（1）证明：当 $x>0$ 时，$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)

172 📝 有解析

### 第172题（1）已知 Stolz 定理：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=L$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=L$ ．证明：若 $x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle x_{1}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L(L>0)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=L$ 。（2）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足： $$ x_{1}=1, x_{2}=1, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=1,2, \cdots, $$ 证明：$\displaystyle x_{n}=\frac{a^{n}-b^{n}}{\sqrt{5}}$ ，其中 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ．（3）对（2）中的 $x_{n}$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}$ ．

173 📝 有解析

### 第173题设 $\displaystyle a_{0} \in(-1,1), a_{n}=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}, n=1,2, \cdots$ ，求：（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} 4^{n}\left(1-a_{n}\right)$ ．（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)$ ．

174 📝 有解析

### 第174题设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2} x_{n} \sin x_{n}}$ ，且 $\displaystyle 0

175 📝 有解析

### 第175题设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．（1）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x-\arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$ ．（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x[1-f(x)]$ 不存在，而 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x+[b-1-b f(x)] \arctan x}{\frac{\pi}{3}-\arctan x}$ 存在， $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\arctan x$ 试确定 $b$ 的值，并求 $I$ ．建设谷题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$ 神㑋

177 📝 有解析

### 第177题设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}\left(1+b x+c x^{2}\right)-1-a x}{x^{4}}$ 存在，求常数 $a, b, c$ 的值并求此极限值．

178 📝 有解析

### 第178题设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{a}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．建议答题时问 $\leqslant 8 \mathrm{~min}$

179 📝 有解析

### 第179题讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x\left(x^{2}-4\right)}{\sin \pi x}, & x>0, \\ \frac{x(x+1)}{x^{2}-1}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 的连续性并指出间断点的类型．

180 📝 有解析

### 第180题设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)=f(b)$ ，试证至少存在一个 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，且 $\beta$－ $\displaystyle \alpha=\frac{b-a}{2}$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ 。锈估

181 📝 有解析

### 第181题设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求证 $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f[\ln (1+x)]}{x^{3}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) .$ $$

182 📝 有解析

### 第182题设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0)=1, f(1)=a$ ．（1）求使得 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得最大值的 $f(x)$ 的表达式．（2）将 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得的最大值记为 $g(a)$ ，当 $a$ 为何值时，$g(a)$ 取得最大值？并求出该最大值．公众号：旗胜考研

183 📝 有解析

### 第183题（1）证明：对 $\displaystyle x>0, x-\frac{1}{3} x^{3}<\arctan x

184 📝 有解析

### 第184题证明：在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上存在三个不同的点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使得 $$ $\displaystyle \left[\mathrm{e}^{-x_{1}}\left(\cos x_{1}-\sin x_{1}\right)\right] x_{3}=\left[\mathrm{e}^{-x_{2}}\left(\cos x_{2}-\sin x_{2}\right)\right]\left(\frac{\pi}{2}-x_{3}\right) .$ $$ 建议答题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

185 📝 有解析

### 第185题设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶连续可导，且对任意的 $x$ 与 $h$ 满足 $\displaystyle f(x+h)- f(x)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)$ ．求证：$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ，其中 $a, b, c$ 为常数．

186 📝 有解析

### 第186题已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_{a}^{y+x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切，试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right]^{\frac{1}{(x(x)}}$ ．

187 📝 有解析

### 第187题证明：当 $0

188 📝 有解析

### 第188题设 $x>0$ ，证明 $\displaystyle (x-4) \mathrm{e}^{\frac{x}{2}}-(x-2) \mathrm{e}^{x}+2<0$ ．建设荅题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

189 📝 有解析

### 第189题设 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上存在二阶导数，$f(0)<0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ．试证明：（1）在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $f(x)$ 至多有两个零点，至少有一个零点．（2）若的确有两个零点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}<0$ ．建议荅题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

190 📝 有解析

### 第190题设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．

191 📝 有解析

### 第191题设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=0$ ．试证存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ ．

192 📝 有解析

### 第192题设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,4]$ 上具有二阶导数，且 $f(0)=0, f(1)=1, f(4)=2$ ．证明存在 $\xi \in(0,4)$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-\frac{1}{3}$ ．建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

193 📝 有解析

### 第193题设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$ ．试证明至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ ，使 $$ $\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant 8 \max _{0 \leqslant x \leqslant 1}|f(x)| .$ $$

194 📝 有解析

### 第194题设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可导，$f(0)=f(1)=0$ ，且 $f(x) \neq 0, x \in(0,1)$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x>4$ ．

195 📝 有解析

### 第195题设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续导数，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ．若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x= 0, \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：至少存在两个不同的点 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ ，使得 $f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)=0$ ．

196 📝 有解析

### 第196题（1）记 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (2 n+1) x}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle I_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2} \pi$ ．（2）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 n x \cdot \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ．

197 📝 有解析

### 第197题设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上单调减少的连续函数，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．（1）设 $k$ 为整数，求 $\int_{k-1}^{k}(x-[x]) \mathrm{d} x$ ．（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}(n x-[n x]) f(x) \mathrm{d} x$ ．

198 📝 有解析

### 第198题 198计算 $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{4} \arctan x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ．

199 📝 有解析

### 第199题（1）证明：对任意实数 $x$ ，均有 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$ ．（2）证明： $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且对任意正整数 $n(n \geqslant 2)$ ，均有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2 n-3)!!}{(2 n-2)!!}$

200 📝 有解析

### 第200题求函数 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}(2-t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t$ 的最大值与最小值．

201 📝 有解析

### 第201题设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．

202 📝 有解析

### 第202题设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使 $$ $\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t=(1-\xi) f(\xi),$ $$ 又若设 $f(x)>0$ ，且单调减少，则满足等式的 $\xi$ 是唯一的．建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 熟絊

203 📝 有解析

### 第203题设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $$ $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0 .$ $$ 建议答题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

204 📝 有解析

### 第204题设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}$ ．若由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=1, x= t(t>1)$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积为 $\displaystyle V(t)=\frac{\pi}{3}\left[t^{2} f(t)-\right. f(1)]$ ，求 $f(x)(x \geqslant 1)$ ．禑佔

205 📝 有解析

### 第205题设 $z=f(x, y)$ 有连续偏导数，证明：存在可微函数 $g(u)$ ，使得 $f(x, y)=g(a x+ b y)(a b \neq 0)$ 的充要条件是 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle b \frac{\partial z}{\partial x}=a \frac{\partial z}{\partial y}$ ．建设荅题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 管题区或 s）䅺 뚤siㄹ

206 📝 有解析

### 第206题设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 试问 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处，（1）是否连续？（2）偏导数是否存在？（3）是否可微？建议答题时问 $\leqslant 8 \mathrm{~min}$

207 📝 有解析

### 第207题设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 证明：若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\operatorname{dg}(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．

208 📝 有解析

### 第208题设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域有定义，极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在，$g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $g(0,0)=0$ ．证明：$z=f(x, y) \cdot g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

209 📝 有解析

### 第209题设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$ ，其中 $f(t)$ 二阶可导，$g(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

210 📝 有解析

### 第210题设 $u=f(x, y, z)$ ，其中 $z=\int_{0}^{x y} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, f$ 有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

211 📝 有解析

### 第211题已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ，求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．

212 📝 有解析

### 第212题设 $x, y, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求函数 $f(x, y, z)=2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值．

213 📝 有解析

### 第213题已知 $u=u(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ，试确定参数 $a$ 和 $b$ ，使原方程在变换 $u=v(x, y) \mathrm{e}^{a x+b y}$ 下不出现一阶偏导数项．

214 📝 有解析

### 第214题试将直角坐标系下的二重积分 $I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 化为极坐标系下的两种二次积分的形式，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

215 📝 有解析

### 第215题 \iint_{D}$\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 由不等式 $x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 和 $x^{2}+(y+1)^{2} \geqslant 1$ 所确定．$ 建议答题时问 $\leqslant 8 \mathrm{~min}

216 📝 有解析

### 第216题求积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

217 📝 有解析

### 第217题计算 $\iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ ．建设谷题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 铼估

218 📝 有解析

### 第218题 \iint_{D} f(x, y) $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)= \begin{cases}x^{2} y, & 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant x, \\ 0, & \text { 其他，}\end{cases}$$ $$ D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+\right. $$ $\left.y^{2} \geqslant 2 x\right\}$ ．建议答题时问 $\leqslant 7 \mathrm{~min}$ 解估$

219 📝 有解析

### 第219题求二重积分 $I=\iint_{D}\left[(x+y)^{2}+y^{2} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D=\{(x$ ， y） $\left.\mid 0 \leqslant a y \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a y, a>0\right\}$ ．

220 📝 有解析

### 第220题计算二重积分 $I=\iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

221 📝 有解析

### 第221题利用代换 $\displaystyle y=\frac{u}{\cos x}$ 将方程 $$ y^{\prime \prime} \cos x-2 y^{\prime} \sin x+3 y \cos x=\mathrm{e}^{x} $$ 化简，并求出原方程的通解．建设荅题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

222 📝 有解析

### 第222题设 $f(t)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} x\left[1+\frac{f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(x \geqslant 0, y \geqslant 0, t> 0)$ ，求 $f(t)$ ．

223 📝 有解析

### 第223题求 $y^{\prime \prime}+a^{2} y=\sin x$ 的通解，其中常数 $a>0$ ．建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 锈估

224 📝 有解析

### 第224题设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，其反函数为 $g(x)$ ，并设 $$ $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x} .$ $$ 求 $f(x)$ ．

225 📝 有解析

### 第225题设当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x)$ 有一阶连续导数，并且满足 $$ f(x)=-1+x+2 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t . $$ 求当 $x \geqslant 0$ 时的 $f(x)$ ． ## 建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

226 📝 有解析

### 第226题设 $\displaystyle x=\tan t, y=u \sec t\left(-\frac{\pi}{2}

227 📝 有解析

### 第227题设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，$f(x) \neq 0$ ，且对 $(-\infty,+\infty)$ 内的任意 $x$ 与 $y$ ，恒有 $f(x+y)=f(x) f(y)$ ．又设 $f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(0)=a \neq 0$ ．试证明对一切 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)$ 存在，并求 $f(x)$ 。

228 📝 有解析

### 第228题函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$的反函数．（1）试将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^{3}=0$ 变换为 $y=y(x)$ 所满足的微分方程．（2）求变换后的微分方程满足初始条件 $\displaystyle y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ 的解．

229 📝 有解析

### 第229题设 $f(x), g(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=4 \mathrm{e}^{x}-f(x)$ ，且 $f(0)=g(0)=0$ ，求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．

230 📝 有解析

### 第230题设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导，且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$ ．过曲线 $y=y(x)$ 上任意一定点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_{1}$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_{2}$ ，并设 $2 S_{1}-S_{2}=1$ ，求此曲线的方程。建设容题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ ## 填空题