kaoyan2advanced 高等数学 第97题
📝 题目
### 第97题
设奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点． （B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点． （C）$y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线平行于 $x$ 轴． （D）$y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线不平行于 $x$ 轴．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$得$f(0)=0$且$f'(0)=0$。步骤2：切线斜率$f'(0)=0$，故切线平行于$x$轴。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件推导函数值
由 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$ 且分母趋于0，可知分子 $f(x)$ 也趋于0，即 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。又因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，所以 $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = 0$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = 0$$
提示：注意极限存在且分母趋于0时分子必趋于0
步骤 2/5
目标：利用导数定义求导数值
根据导数定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$。因此 $f'(0) = 0$。
公式：$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$$
提示：注意奇函数在0点值为0
步骤 3/5
目标：分析切线斜率
函数 $y = f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线斜率为 $f'(0) = 0$，故切线方程为 $y - f(0) = 0 \cdot (x - 0)$，即 $y = 0$，平行于 $x$ 轴。
公式：$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0$$
提示：注意奇函数隐含f(0)=0
步骤 4/5
目标：判断极值点
由 $f'(0) = 0$ 可知 $x=0$ 是驻点，但仅凭 $f'(0)=0$ 不能确定是否为极值点。由于 $f(x)$ 是奇函数且 $f(0)=0$，在 $x=0$ 附近 $f(x)$ 可能变号，例如 $f(x)=x^3$ 满足条件但 $x=0$ 不是极值点，因此选项A和B不一定成立。
提示：驻点不一定是极值点
步骤 5/5
目标：综合选项判断
选项C：切线平行于 $x$ 轴，正确。选项D：切线不平行于 $x$ 轴，错误。因此正确答案为C。
提示：注意奇函数在0处连续且导数为0
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