kaoyan2advanced 高等数学 第96题
📝 题目
### 第96题
若曲线 $y=x^{2}+a x+b$ 与 $2 y=-1+x y^{3}$ 在点 $(1,-1)$ 处相切，则常数 $a, b$ 分别为 （A）$a=0, b=-2$ ． （B）$a=1, b=-3$ ． （C）$a=-1, b=-1$ ． （D）$a=-3, b=1$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：曲线$y=x^2+ax+b$过点$(1,-1)$，得$-1=1+a+b$即$a+b=-2$。步骤2：对$2y=-1+xy^3$隐函数求导，得$2y'=y^3+3xy^2y'$，代入$(1,-1)$得$2y'=-1+3y'$，解得$y'=1$。步骤3：抛物线$y'=2x+a$在$x=1$处导数为$2+a=1$，得$a=-1$，代入得$b=-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用相切点坐标确定第一个方程
曲线 $y=x^2+ax+b$ 经过点 $(1,-1)$，代入得 $-1=1^2+a\cdot1+b$，即 $a+b=-2$。
提示：代入点坐标时注意符号
步骤 2/5
目标：对隐函数方程求导，计算切线斜率
对方程 $2y=-1+xy^3$ 两边关于 $x$ 求导，得 $2y' = y^3 + 3xy^2 y'$。代入点 $(1,-1)$，此时 $y=-1$，得 $2y' = (-1)^3 + 3\cdot1\cdot(-1)^2 y'$，即 $2y' = -1 + 3y'$，解得 $y'=1$。因此切线斜率为 $1$。
公式：$$2y' = y^3 + 3xy^2 y'$$
提示：注意隐函数求导时y是x的函数
步骤 3/5
目标：利用抛物线导数等于切线斜率确定第二个方程
抛物线 $y=x^2+ax+b$ 的导数为 $y'=2x+a$。在 $x=1$ 处，导数值等于切线斜率 $1$，即 $2\cdot1 + a = 1$，解得 $a = -1$。
公式：$$y' = 2x + a$$
提示：注意相切条件：函数值相等且导数相等
步骤 4/5
目标：代入第一个方程求解常数b
将 $a=-1$ 代入 $a+b=-2$，得 $-1+b=-2$，解得 $b=-1$。
提示：代入时注意符号变化
步骤 5/5
目标：得出最终答案
常数 $a=-1$，$b=-1$，对应选项（C）。
公式：$$y' = 2x + a$$, $$2y' = y^3 + 3xy^2 y'$$
提示：注意隐函数求导时y是x的函数
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