kaoyan2advanced 高等数学 第95题
📝 题目
### 第95题
设严格单调函数 $y=f(x)$ 有二阶连续导数，其反函数为 $x=\varphi(y)$ ，且 $f(1)=2$ ， $f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3$ ，则 $\varphi^{\prime \prime}(2)$ 等于 （A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （B）-3 ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3}{8}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：反函数导数公式$\displaystyle \varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$，则$\displaystyle \varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。步骤2：代入$x=1,y=2$，得$\displaystyle \varphi''(2)=-\frac{3}{2^3}=-\frac{3}{8}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用反函数导数公式
由反函数求导法则，若 $y=f(x)$ 严格单调且可导，$f'(x) \neq 0$，则反函数 $x=\varphi(y)$ 的导数为 $\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$，其中 $x=\varphi(y)$。
公式：$$\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$$
提示：注意x与y的对应关系
步骤 2/5
目标：求二阶导数表达式
对 $\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ 两边关于 $y$ 求导，注意 $x$ 是 $y$ 的函数，由复合函数求导法则得：
$$\varphi''(y) = -\frac{f''(x) \cdot \frac{dx}{dy}}{[f'(x)]^2} = -\frac{f''(x) \cdot \varphi'(y)}{[f'(x)]^2} = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}.$$
公式：$$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$
提示：注意x是y的函数，求导时要用链式法则
步骤 3/5
目标：确定对应点关系
已知 $f(1)=2$，即当 $x=1$ 时 $y=2$，因此反函数中 $y=2$ 对应 $x=1$，即 $\varphi(2)=1$。
提示：注意反函数对应关系
步骤 4/5
目标：代入已知数值
将 $x=1$，$f'(1)=2$，$f''(1)=3$ 代入二阶导数公式：
$$\varphi''(2) = -\frac{f''(1)}{[f'(1)]^3} = -\frac{3}{2^3} = -\frac{3}{8}.$$
公式：$$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$
提示：注意反函数二阶导公式中分母是f'的三次方
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此 $\varphi''(2) = -\frac{3}{8}$，对应选项 (D)。
公式：$$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$
提示：注意反函数二阶导公式中分母为三次方
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