kaoyan2advanced 高等数学 第94题
📝 题目
### 第94题
设 $f(x), g(x)$ 定义在 $(-1,1)$ 上，且都在 $x=0$ 处连续，若 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{g(x)}{x}, & x \neq 0, \\ 2, & x=0,\end{array}\right.$ 则 （A）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ 。 （B）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=1$ ． （C）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=2$ ． （D）$g(0)=1$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ．
建设荅题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$f(x)$在$x=0$处连续，得$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=2$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=2$，故$g(0)=0$且$g'(0)=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用连续性建立极限等式
由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $f(0)=2$，则 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 2$。代入 $f(x)$ 在 $x \neq 0$ 时的表达式，得 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 2$。
公式：$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
提示：注意连续定义与分段代入
步骤 2/4
目标：由极限存在推出 $g(0)=0$
因为 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$ 存在且为有限值 $2$，所以当 $x \to 0$ 时，分子 $g(x)$ 必须趋于 $0$，否则极限会趋于无穷大。由 $g(x)$ 在 $x=0$ 处连续，得 $g(0) = \lim_{x \to 0} g(x) = 0$。
提示：注意极限存在且有限时分子必须趋于0
步骤 3/4
目标：利用导数定义求出 $g'(0)$
由导数定义，$g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$。而由第一步已知 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 2$，因此 $g'(0) = 2$。
公式：$$g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0}$$
提示：注意g(0)=0，直接代入导数定义
步骤 4/4
目标：得出结论
综合以上，$g(0)=0$ 且 $g'(0)=2$，对应选项 (C)。
提示：注意连续性和导数定义的条件
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