kaoyan2advanced 高等数学 第98题
📝 题目
### 第98题
奇函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上可导，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$（ $M$ 为正常数），则必有 （A）$|f(x)| \geqslant M$ ． （B）$|f(x)|>M$ ． （C）$|f(x)| \leqslant M$ ． （D）$|f(x)| 建视答题时问 神佔
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(x)$为奇函数，$f(0)=0$。步骤2：由拉格朗日中值定理，$|f(x)|=|f(x)-f(0)|=|f'(\xi)||x|\le M|x|\le M$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用奇函数性质
由于 $f(x)$ 是奇函数，且定义域包含原点，则 $f(0)=0$。
提示：奇函数在原点处函数值为0
步骤 2/4
目标：应用拉格朗日中值定理
对任意 $x \in [-1,1]$，考虑区间 $[0,x]$（若 $x>0$）或 $[x,0]$（若 $x<0$），由拉格朗日中值定理，存在介于 $0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使得 $f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)$，即 $f(x)=f'(\xi)x$。
公式：$$f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)$$
提示：注意区间端点符号，确保ξ在0与x之间
步骤 3/4
目标：取绝对值并利用条件
两边取绝对值：$|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x|$。由已知条件 $|f'(x)| \leq M$，得 $|f'(\xi)| \leq M$，又 $|x| \leq 1$，故 $|f(x)| \leq M \cdot |x| \leq M$。
公式：$$|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| \leq M \cdot |x| \leq M$$
提示：注意绝对值处理与不等式传递
步骤 4/4
目标：得出不等式结论
因此，对任意 $x \in [-1,1]$，有 $|f(x)| \leq M$，即选项 (C) 正确。
公式：$$|f(x)| \leq M$$
提示：注意奇函数性质与导数有界结合
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