kaoyan2advanced 高等数学 第99题
📝 题目
### 第99题
设非零函数 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}>0$ ，则 （A）$f(1)>f(0)$ ． （B）$f(1)
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$\displaystyle \frac{f(x)}{f'(x)}>0$知$f(x)$与$f'(x)$同号。步骤2：若$f(x)>0$，则$f'(x)>0$，$f(x)$单调增，$f(1)>f(0)>0$，故$\displaystyle \left|\frac{f(1)}{f(0)}\right|>1$；若$f(x)<0$，则$f'(x)<0$，$f(x)$单调减，$f(1)
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件
已知非零函数 $f(x)$ 可导，且 $\frac{f(x)}{f'(x)} > 0$。由于分母 $f'(x)$ 不为零（否则分式无意义），因此 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 同号。
公式：$$\frac{f(x)}{f'(x)}>0$$
提示：注意分母不为零，同号是关键
步骤 2/5
目标：分情况讨论
分两种情况：
- 若 $f(x) > 0$，则 $f'(x) > 0$，函数单调递增。
- 若 $f(x) < 0$，则 $f'(x) < 0$，函数单调递减。
公式：$$\frac{f(x)}{f'(x)}>0$$
提示：注意分情况讨论时符号判断
步骤 3/5
目标：情况一：$f(x) > 0$
由单调递增得 $f(1) > f(0) > 0$，故 $\left|\frac{f(1)}{f(0)}\right| = \frac{f(1)}{f(0)} > 1$。
公式：$$\frac{f(x)}{f'(x)} > 0$$
提示：注意分类讨论f(x)的正负性
步骤 4/5
目标：情况二：$f(x) < 0$
由单调递减得 $f(1) < f(0) < 0$，故 $\left|\frac{f(1)}{f(0)}\right| = \frac{-f(1)}{-f(0)} = \frac{f(1)}{f(0)}$，但注意 $f(1)$ 和 $f(0)$ 均为负，且 $f(1) < f(0)$，所以 $\frac{f(1)}{f(0)} > 1$（例如 $f(0)=-1, f(1)=-2$，则 $\frac{-2}{-1}=2>1$），因此 $\left|\frac{f(1)}{f(0)}\right| > 1$。
提示：注意负数比较时绝对值大小与数值大小的关系
步骤 5/5
目标：综合结论
无论 $f(x)$ 正负，均有 $\left|\frac{f(1)}{f(0)}\right| > 1$，故选项 D 正确。
提示：注意符号对不等式方向的影响
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