kaoyan2advanced 高等数学 第100题

教材习题

📝 题目

### 第100题

设 $\displaystyle 0g(x)>h(x)$ ． （B）$h(x)>g(x)>f(x)$ ． （C）$g(x)>f(x)>h(x)$ ． （D）$f(x)>h(x)>g(x)$ ．

建设荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 新估

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💡 答案解析

**答案**：A **解析**：步骤1：当$\displaystyle 0x$，故$\displaystyle \frac{\tan x}{x}>1$，则$f(x)>g(x)$。步骤2：比较$g(x)$与$h(x)$，因$\tan x>x$，故$\displaystyle \left(\frac{\tan x}{x}\right)^2>1$，而$\displaystyle \frac{\tan x^2}{x^2}<\frac{x^2}{x^2}=1$（$x^2<\tan x^2$不成立，实际$\tan x^2>x^2$，但$x^2$很小，需用放缩：$x\in(0,\pi/4)$时$\tan x>x$，故$\displaystyle \frac{\tan x^2}{x^2}>1$，但$\displaystyle g(x)=\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2$，$\displaystyle h(x)=\frac{\tan x^2}{x^2}$，由$\tan x$凸性，$\displaystyle \frac{\tan x}{x}>\frac{\tan x^2}{x^2}$，故$g(x)>h(x)$。步骤3：综上$f(x)>g(x)>h(x)$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：步骤1：比较f(x)与g(x)
已知当$0 x$，因此$\frac{\tan x}{x} > 1$。由于$f(x)=\frac{\tan x}{x}$，$g(x)=\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2$，且$\frac{\tan x}{x}>1$，平方后更大，故$f(x) > g(x)$。
公式：$$\tan x > x \quad (0
提示：注意平方后大小关系不变
步骤 2/4
目标：步骤2：比较g(x)与h(x)
考虑$g(x)=\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2$和$h(x)=\frac{\tan x^2}{x^2}$。由于$0 x^2$，即$\frac{\tan x^2}{x^2}>1$。但需比较$\frac{\tan x}{x}$与$\frac{\tan x^2}{x^2}$。利用函数$\varphi(t)=\frac{\tan t}{t}$在$(0,\frac{\pi}{4})$上的单调性：$\varphi'(t)=\frac{t\sec^2 t-\tan t}{t^2}$，令$u(t)=t\sec^2 t-\tan t$，$u'(t)=\sec^2 t+2t\sec^2 t\tan t-\sec^2 t=2t\sec^2 t\tan t>0$，故$u(t)>u(0)=0$，$\varphi'(t)>0$，$\varphi(t)$单调递增。由于$x^2 h(x)$。
公式：$$\varphi(t)=\frac{\tan t}{t}, \varphi'(t)=\frac{t\sec^2 t-\tan t}{t^2}>0$$
提示：注意x^2
步骤 3/4
目标：步骤3：综合比较
由步骤1得$f(x)>g(x)$，由步骤2得$g(x)>h(x)$，因此$f(x)>g(x)>h(x)$。
提示：注意传递性：a>b且b>c则a>c
步骤 4/4
目标：步骤4：选择正确选项
根据比较结果，选项（A）$f(x)>g(x)>h(x)$正确。
提示：注意比较函数大小需考虑单调性

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