kaoyan2advanced 高等数学 第101题
📝 题目
### 第101题
下述论断正确的是
（A）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，除 $x=0$ 外均可导，且 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是严格单调增加的． （B）设 $f(x)$ 为偶函数且 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime}(0)=0$ ． （C）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处二阶导数存在，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点． （D）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处三阶导数存在，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x=x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点。
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A错误，反例$f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x,&x\ge0\end{cases}$，$x=0$处不连续，非严格单调增。步骤2：B错误，偶函数在$x=0$处可能不可导，如$f(x)=|x|$。步骤3：C错误，需$f'(x_0)=0$。步骤4：D正确，$f'''(x_0)\neq0$时，$x_0$为拐点，非极值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
选项A：设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有定义，除$x=0$外均可导，且$f'(x)>0$，则$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是严格单调增加的。此论断错误。反例：$f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x,&x\ge0\end{cases}$，在$x=0$处不连续，尽管除$x=0$外$f'(x)=1>0$，但$f(-0.5)=0.5$，$f(0)=0$，$f(-0.5)>f(0)$，故不是严格单调增加。
提示：注意函数在间断点处可能不单调
步骤 2/5
目标：分析选项B
选项B：设$f(x)$为偶函数且$x=0$是$f(x)$的极值点，则$f'(0)=0$。此论断错误。反例：$f(x)=|x|$为偶函数，$x=0$是极小值点，但$f'(0)$不存在，故$f'(0)=0$不一定成立。
提示：极值点导数可能不存在
步骤 3/5
目标：分析选项C
选项C：设$f(x)$在$x=x_0$处二阶导数存在，且$f''(x_0)>0$，则$x=x_0$是$f(x)$的极小值点。此论断错误。极值点的充分条件需要$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)>0$，但此处未保证$f'(x_0)=0$。例如$f(x)=x^2$在$x=1$处$f''(1)=2>0$，但$x=1$不是极值点。
提示：极值点需一阶导为零
步骤 4/5
目标：分析选项D
选项D：设$f(x)$在$x=x_0$处三阶导数存在，且$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\neq0$，则$x=x_0$一定不是$f(x)$的极值点。此论断正确。因为$f'''(x_0)\neq0$表明$x_0$是拐点，函数在该点两侧单调性相反，故不是极值点。
提示：三阶导非零则拐点，非极值
步骤 5/5
目标：得出答案
综合以上分析，正确选项为D。
提示：注意反例构造和单调性条件
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。